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1、应用一个定理计算某些函数的极限第23卷第5期2010年10月高等函授（自然科学版）JournalofHigherCorrespOndenceEducation（NaturalSciences）Vol_23No.520109大学教学？应用一个定理计算某些函数的极限万为国（长江大学一工部，湖北荆州434025）0摘要:x—】（o时函数的极限为A,等价于函数在U（XO）内等于A与一个无穷小量之和应用这个结论可以简化一些命题的证明过程，还可以用来计算某些函数的极限.关键词:应用定理;计算;极限中图分类号:017文献标识码：A文章编号:1006—7353(2010)05—003
2、3—02进入高校学习的学生，学习高等数学首先就要学习数列与函数的极限，经验表明，学生对极限概念感觉很难弄懂，应用数列极限的e—N定义或函数极限的e一定义证明一些命题感觉无从下手，学生对于极限概念没有完全理解而产生畏难情绪,在计算函数的极限时尤其是较难计算的极限时,也不能以平和的心态运用极限运算法则或相关结论来解题.在极限理论中有一个重要的定理，建立了函数极限与无穷小的关系，定理的形式普通,作用却很大•学会熟练运用这个定理，不仅对某些命题的证明可以避免用£一”或£一定义的形式进行表述，还可以帮助计算某些类型的函数的极限•在不同版本的高等数学教材上都有这个定理的证明，定理
3、的内容为：定理limf(x)-A的充要条件是•厂()-—0A+a⑵•其中a()为z一z.时的无穷小.1证明极限运算法则及无穷小的性质等应用定理证明极限的四则运算法则，复合函数的极限运算法则,无穷小的性质，比直接用e一定义证明要简洁得多，这在同济版的《高等数学》等诸多教材中都能找到,不须在这里举例了.2计算函数的极限下面儿个有代表性的例题，解法并非只有一种,而应用上述定理求解，可以体会到该定理在求极限中的特殊作用.例1设厂(Z)在Z一0的某邻域内有二阶导数,Fllim(l++){—e3试求,(o),厂(o),(O),lim(l-I-生){.z—0解由已知条件得In(l+
4、z+)lim—0ln(l+z+)—3+(),(lima()—0)l+z+—g.((2)由⑵得lim—o=》ln(l+z+)〜乙+生(一o)由⑴得lim一X—f(x)—3,lim生一由(1)得lim£±型一3,3+fl((⑵一o),(z)—2x.+o(x・)(3)而()二阶可导，应有f(x)—f(O)++・+0((4)比较(3),(4)两式，厂(0)—0,f(0)—0,收稿日期:2010-08—10.作者简介:万为国(1961一)，男，湖北仙桃人，副教授，主要从事公共数学教学研究33第23卷第5期2010年1O月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCor
5、respondenceEducation(NaturalSciences)V01.23NO.52010/(0)—4,++X+l+n)lim(l+生)｛一:竿一则lim土H：—aq・4:2，口z一.ozlz十Z}£一专厂㈤一ez例2已知lim十一一&求n,b.解一x2+bx—+3b—8+(z),(lima()=0)+bx十3b一8(z一a)+(z—a)口()令z—口,n+ab+3b—06———,口十JX++3b一](n+3)x.一nz一3a.]al一1)[(口+3)x+3口](z—II),al一lim[(口+3)x十3a]一8d口十0(口+4)(口〜6)—0,从而a:一
6、4,b一16,或a一6,b4.例3当n与b为何值吋,lim(++—0Z一)一0一Z,b一〜3.类似于上述例题的题型，有以下一般结论:⑴若lim[l+9(z)]{=e,必有lim〜(x)二z・U—?uo,.ftlim生一.事实上，由已知等式得lim土卫:口(*)—n+卢(),(1i・・B()=o),00()—ex("—1=》limg(x)=O,IO，由(*)式，及ln[l+()]〜(),原已知条件可转化为lim:口，如果附加条件:①⑵在z—0处连续，贝I」(O)—o;②⑵在z―o处可导，贝
7、J(O)===暑一n.解sin3x++6—d(),(lim口⑵一0)⑵若limZ
8、.z一O一口一a坠韭十n+—a(z),-x一o得.一3,代入已知条件,6—一1.3一3cos3xl.9sin3x9一一瓦例4)一石兰甘甘一2,例厂⑵一{(z一l)(z+2)【2•—1求a,b使厂()在z—1处连续.解由题意1一im车一2,{:2+(z),(lim(.z)—o)=十烈，驯一z+O.X+b一卜2+口⑵］(z一l)(z+2),令1得b=—a~l,.z+z+b—.z+ax—a一1一(・z—1)(34k(k为常数)，必有limp(z)一0.因为立二五+y⑵,(lin(z)=O),Z一中4()=［+y⑵］(z—口),limp()—0.当p()中
