数学建模在《图论》教学中作用

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1、数学建模在《图论》教学中作用摘要：在《图论》课程的教学过程中，根据教学内容适当引入数学建模的思想、方法，激发学生学习《图论》的兴趣，提高学生应用所学知识分析、解决实际问题的能力。关键词：数学建模；《图论》；应用中图分类号：G642文献标志码：A文章编号:1674-9324(2013)37-0065-03一、数学建模的基本概念和思想数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优

2、策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微地观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。数学建模所利用的方法基本上是方程、分析、统计、运筹、图论等常用数学工具，多数都要用到计算机进行数值计算和做图，有时还用到计算机模拟。因此，在大学《图论》课程教学活动中，教师如果能随时随处将数学建模思想和方法引入到教学内容中，使学生了解《图论》的相关概念、定理产生的历史背景，让学生在学习《图论》时，体会到图论知

3、识与现实问题联系的紧密性以及应用的广泛性，这样才有利于激发学生的学习兴趣，帮助学生对图论知识的理解与吸收。二、《图论》中的数学建模思想自18世纪欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究以来，图论得到了深入而广泛的发展，已成为一门应用数学课程，在自然科学、社会科学、机械工程中均有重要的意义。由于《图论》课程概念多、公式复杂、定理难证明和难理解等特点，在一定程度上造成教学难，证明抽象度高，学生难以理解。学生不能真正理解图论思想，更谈不上灵活运用图论知识来解决各种实际问题，从而使学生感到《图论》的学习非常困难与枯燥。虽然《图论》课程

4、中概念、定理比较多，初学者不易掌握，但是图论的概念和定理大多是从实际问题中抽象出来的，所以在教学中注重介绍各种概念和理论的实际背景，引导学生学习图论思想，探究图论的发展规律，从而将更好地帮助学生理解和掌握这些概念和理论。如何从实际问题中抽象出图论的相关理论，数学建模正是联系数学理论与实际的一座桥梁，是数学应用于科学和社会的一个很好的途径，是解决实际问题的强有力的工具。在图论某些定理证明的教学过程中可以适当地融入数学建模的思想与方法，把定理的结论看作一个特定的模型，需要去建立它。于是，当把定理的条件看作是模型的假设，

5、可根据预先设置的问题情景，引导学生发现定理的结论，从而定理证明的方法也随之显现。例1•设G=(V,E)为任意无向图,V={vl,v2,,vn},

6、E

7、=m,证明所有顶点的度数和等于2m,并且奇点个数为偶数。证明该结论之前，首先任意选取若干个学生，让他们随机互相握手，并记下每个人的握手次数和每两人之间握手的次数，由此可得每个人握手次数总和是每两人之间握手次数的2倍，以及握过奇数次手的人数一定是偶数。互动之后介绍该定理称之为握手定理，从互动过程中可以建立定理结论的模型，并且证明的思路也就显而易见了。三、数学建模提高学生

8、学习《图论》的兴趣和应用意识由于教学课时的限制，将数学建模的思想方法融入《图论》课程教学时，不能专门地让学生学习建模，只能通过一些简单的模型给学生介绍数学建模的思想及方法。《图论》是现代数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、机械工程中有重要的意义，其求解思想渗透到自然学科的各个领域。图论中的图是由若干个给定的顶点及若干条连接两个顶点的边所构成的图形。这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系：用顶点代表事物，用连接两个顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。这种图提供了一个很自然的数据结构，可以对自然科学和

9、社会科学领域中的许多问题进行恰当的描述或建模。因此，可以通过设计一些与《图论》课程相关的课外建模活动，选择符合学生实际并贴近生活的一些图论问题，启迪学生的论文查阅意识和能力，指导学生阅读相关论文，最后以解题报告或小论文的形式提交他们的结果。例2•有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。表1中打“的是各运动员报名参加的比赛项目。如何安排六个项目的比赛顺序，使得每名运动员都不连续地参加两项比赛。求解该问题时，可以先选取六名同学模拟一下实际问题，使学生理解该问题的实际背景，根据实际

10、模拟情况，找出一种符合要求的比赛安排。再引导学生探究该问题与图论的联系，确定该问题的图论模型，从而帮助学生寻找解决该问题的答案。在该问题中，若把比赛项目作为研究对象，用点表示，如果两个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的点之间连一条线。如图1：在该图中只要找出一个点的序列，使依次排列的两个点不相邻，即能做到每名运动员不会连续地参加两项比赛。例如A、C、