第复赛试题和答案

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1、第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共8题，满分160分。一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。解：于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系.设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入

2、湖水时，其所受到的浮力为()(1)物块的重力为(2)设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有(3)将(1)和(2)式代入(3)式得(4)将系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称系.新旧坐标的关系为(5)把(5)式代入(4)式得(6)(6)式表示物块的运动是简谐振动.若，则，对应于物块的平衡位置.由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为(7)物块运动方程在系中可写为(8)利用参考圆可将其振动速度表示为(9)式中为振动的圆频率(10)在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定.在物块刚被释放时，即时

3、刻有，由(5)式得(11)(12)由(8)至(12)式可求得(13)(14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得(15)(16)由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定.为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况.显然，在系中看，物块下底

4、面坐标为时，物块刚好16/16被完全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处.注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论：I．.由(13)和(17)两式得(18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中.因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置.由(10)式得振动周期(19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间(20)II．.由(13)和(17)两式得(21)在这种情况下，物块在运动过程中会从

5、某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时.由(15)和(17)式得(22)取合理值，有(23)由上式和(16)式可求得这时物块的速度为(24)此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律有(25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有(26)由(24)-(26)得(27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为(28)评分标准：第一题本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分

6、，（27）式2分，（28）式1分.评分标准：第二题本题23分.第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.第2问7分，(11)式1分，(13)式2分，（18）式1分，（19）式3分.16/16（数值结果允许有的相对误差）二、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过

7、地球的同步卫星高度（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电

8、梯回收的可能性。2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。已知：地