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1、极值统计学在洪灾风险评价中的应用傅湘，王丽萍，纪昌明(武汉大学水资源系)摘要：本文以极值统计学为理论基础，研究了该方法在洪灾损失风险计算中的适用性。在已知有限的极值事件概率信息下，确定极值风险函数以评估大洪水引起的洪灾损失期望值，揭示洪灾损失的潜在风险趋势。并通过实例研究验证该方法的可行性。关键词：极值统计学；洪灾损失；风险评价收稿日期：2000-09-25基金项目：国家自然科学基金重大项目(50099624)，湖北省自然科学基金项目。作者简介：傅湘(1971-)，女，江西九江人，讲师，博士，主要从事水
2、文学及水资源的教学与研究工作。 洪灾风险是指洪水流量超过了当地的蓄泄能力，引起洪水漫溢出河槽泛滥，造成部分地区受淹、人员伤亡和资产损失的事件。洪灾风险评价不仅要考虑风险事件发生概率这一信息，而且还要同时考虑洪灾损失这一因素，现有的风险损失量化方法是求期望值函数，它掩盖了潜在的危险因素，而极值统计学方法考虑了极值风险事件的严重危害，它补充、完善了现有的风险损失量化方法，在工程规划与管理领域具有一定的应用价值。1极值统计学方法 极值统计学是数学统计学的一个分支，主要是处理一定样本容量的最大值和最小值，可
3、能的最大与最小值将组成它们各自的母体，因此这些值可用具有各自概率分布的随机变量来模拟。 令X为初始的随机变量，并有已知的初始分布函数FX(x)；这里我们主要探讨样本量n的随机变量(X1，X2，…，Xn)的最大值，即随机变量：Yn=max(X1,X2,…,Xn).为了数学上的简化及与随机抽样理论一致，假设X1，X2，…，Xn均为相互统计独立并与初始随机变量X有相同的分布函数。据此，Yn的分布函数为：FYn(y)=P(Yn≤y)=P(X1≤y,X2≤y,…，Xn≤y)=[FX(y)]n(1) 对于方程(
4、1)，当n变得很大或n→∞时，FYn(y)是否具有极限的或渐近的形式，这一问题曾经是早期的统计学者所探讨的课题，并已成为人所共知的统计极值的渐近理论，它使得极值统计学的用途大为增强。 当n很大时，极值的渐近分布趋向收敛于几种极限形式，耿贝尔把它们划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型的渐近形式[1]：来自带有指数型衰减尾部的初始分布的极值将渐近地收敛于Ⅰ型极限形式；而对于具有二项式衰减尾部的初始分布，它的极值将收敛于Ⅱ型渐近形式；对于有界的极值，其相应的极值分布将收敛于Ⅲ型渐近形式。 描述极值统计的两个基本要素是耿贝尔
5、渐近分布形式与极值参数。在实际应用中，判断初始随机变量的确切分布常常比较困难，但描述极值风险事件后果是极其重要的，而它又是初始随机变量的函数，因此，在初始随机变量的尾部情况不够明确时，必然会带来如何确定其极值分布的极限形式问题，以便确定极值风险的均值和方差，为此，可利用万米色斯(VonMises)准则作为指南[1]。Jamesetal[2]在VonMises收敛准则的基础上推导了初始变量X为极值Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型时，Y=g(X)为耿贝尔极值分布形式的条件(见表1).2极值统计方法与洪灾高损失区域的关系 在洪
6、灾风险评价中，常用数学期望值来概化风险事件的概率和风险损失，它掩盖了极值事件的风险信息，而大多数情况下，管理者是不愿意冒风险的，当防洪系统处于紧急时期时，管理者总是把注意力集中在避免严重危害事件上，而很少用物理或经济指标的期望值作为衡量系统性能的代表性指标。AsbeckandHaimes[3]提出的分区多目标风险方法(ThePartitionedMultiobjectiveRiskMethod)很好地解决了上述问题，它是一种基于条件期望值概念的风险量化方法，将期望值的概念推广到生成多个条件期望值函数，与
7、传统的期望值法相比，它给出了一个更完整的风险描述。图1概率-损失的风险 条件期望值函数定义为随机变量在几个划定的概率范围内的期望值。显然条件期望值的大小取决于概率轴的划分，而分区点的选择由分析者根据决策问题的极值特点主观确定。 下面简要介绍PMRM，如图1，Sj为第j个决策方案，FX(x,Sj),fx(x,Sj)分别为洪灾损失变量X的累积分布函数和概率密度函数。(1-αi)为第i个概率分区点对应的洪水风险率(超越概率)，βij为第i个洪水风险率和第j个决策方案对应的损失值。它们的关系为：FX(βij
8、,Sj)=αi(2) 洪灾损失的范围包括低损失区｛x:x∈[β0j,β1j]｝,中等损失区｛x:x∈[β1j,β2j]｝，高损失区(即极大值风险事件)为｛x:x∈[β2j,β3j］｝,β0j、β3j为洪灾损失X的下限及上限。则条件期望风险函数为：fi+1(sj)=E{X
9、fX(x,Sj),x∈[βi-1,j;βij]}==1/αi-αi-1(i=1,2,3；j=1,…,q)(3) 从式(3)中我们可以看出，f4(·)代表了洪灾高损失区域
