上海市杨思高级中学2018学年第一学期期中考试高三数学

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1、上海市杨思高级中学2018学年第一学期期中考试高三数学试卷2018.10.31一、填空题（本大题共12小题，满分54分）只要求直接写出结果，1~6题每个空格天对得4分，7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．集合，，则____________.2．不等式的解集为____________.3．若复数（为虚数单位），则____________.4．方程的根是____________.5．____________.6．已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为____________.7．已知

2、，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____________.8．已知函数，是函数的反函数，若的图像过点，则的值为____________.9．若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为____________.10．圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为____________.11．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个.从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是____________.

3、（结论用最简分数表示）12．已知定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是____________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．“”是“”（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14．在中，若，则是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形15．若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.1

4、6．下列问题中，，是不相等的正数，问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨的面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积；问题乙：某人散步，第一圈的速度是，第二圈的速度是，这两圈的速度的平均数是；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，物品放在左边时右边砝码质量为（天平平衡），物品放在右边时左边砝码质量为，物体的实际质量为；比较上述，，的大小，下列选项正确的是（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）

5、如图，设长方体中，，.（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.18．（本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）已知（1）求最大值及该函数取得最大值时的值；（2）在中，，，分别是，，所对的边，若，，且，求边的值.19．（本题满14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数的零点个数.20．（本题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且、与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过

6、点作互相垂直且与重合的两直线、分别交椭圆于、、、，且、分别是弦、的中点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线过定点；（3）求面积的最大值.21．（本题满18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为可控数列.（1）若，，问有多少种可能？（2）若是递增数列，，且对任意的，数列，，成等差数列，判断是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列的首项，前项和为，即.问的极限是否存在，若存在，求出与的关系式；若不存在，请说明理由.参考答案一、填空题1．2

7、．3．4．5．6．7．8．49．112010．11．12．二、选择题13．B14．B15．A16．D三、解答题17．（1）；（2）18．（1），；（2）4或219．（1）当时，偶函数；当时，非奇非偶函数；（2）当时，1个零点；当时，2个零点；当时，3个零点20．（1）；（2）略；（3）21．（1）2017种；（2）是；（3）当单调递减，时，极限存在，此时