中考压轴题全面突破之五：四边形的存在性(含答案)

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1、中考数学压轴题全面突破之五•四边形的存在性题型特点四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．解题思路①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；③借助几何特征建等式．难点拆解①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不

2、易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．④直角梯形存在性关键是利用好直角．1.（2012湖北孝感）如图，抛物线(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．8/8（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时点P的坐标．（3）点Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q作QN∥AC交x轴于点N．当点Q的坐标为_________时，四边形QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为_________时，四边形QNAC是等腰梯形．8/81.（2012黑

3、龙江牡丹江）如图，OA，OB的长分别是关于的方程x2-12x+32=0的两根，且OA>OB．请解答下列问题：（1）求直线AB的解析式．（2）若P为AB上一点，且，求过点P的反比例函数的解析式．（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，P，O，Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8/81.（2012湖北襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．（1）求AD

4、的长及抛物线的解析式．（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．8/81.（2010贵州遵义）如图，已知抛物线(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A

5、，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式．（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．（3）在（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8/81.（2012山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，以A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从

6、点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）求点A的坐标及抛物线的解析式．（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？求出t的值．8/8四边形的存在性1.（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标是．（2）设四边形的面积为，则==∵∴当时，四边形的最大面积为．此时，点P的坐标是．（3）Q；Q．2.（1）直线AB的解

7、析式为．（2）．（3）存在，符合条件的点Q的坐标为（－2，1），或．8/81.（1）AD=3，抛物线的解析式为．（2）当t=或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）存在，符合条件的点M，N的坐标分别为，①M1（-4，-32），N1（4，-38）②M2（12，-32），N2（4，-26）③M3（4，），N3（4，）．2.（1）抛物线的函数关系式为．（2）点P的坐标为(1，0)或(2，-1)．（3）存在，符合条件的点F的坐标为(，1)或(，1)．3.（1）A（1，4），抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（2）S△ACG=，当t=2时，S△A

8、CG的最大值为1．（3）t=或t=．8/8