浅议多元表达式几种常见处理方法

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1、浅议多元表达式几种常见处理方法【中图分类号IG633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2012)11-0147-02多元表达式是指含有两个或者两个以上变量的表达式，有关多元表达式的值域、最值问题是常考题型，要注意其中涉及的数学思想和方法。一、减元例］.已知函数f(x)二

2、2x-3

3、,若00,b>0,a+2b二1,求■+■的最小值。分析：这是有关二元表达式的最值问题，考虑到题目中的条件，可直接利用基本不等式。■+■=(a+2b)(■+■)二3+・+・23+2■当且仅当■=Ba+2b=l,即时a=B-lb=l-■时，■+■有

4、最小值3+2例4.若实数x,y,z,t满足1WxWyWxWtWlOOOO,则■+■的最小值为O分析：令x=l是■中最小值，令t=10000是■中最小的,利用分母最大分子最小时分式的值最小，再基本不等式，■+・三・+・三・+・上2・二・注：利用不等式的性质，能巧妙的减少变量的个数，同时均值不等式求最值时要抓住(1)“一正，二定，三等”；（2）连续使用同向不等式时要保证等号条件的一致性。三、数形结合例5.已知x+y+l=O则■的最小值是o分析：若令z=・，又■可看成点（1,1）到直线x+y+l=O上点的距离，由点到线的距离公式得的最小值为■例

5、6.若实数x、y满足x2+y2—6x~4y+12=0,求■的最大值及最小值。分析：点（x,y）满足圆的方程，而■正好看作是圆上的点与原点连线的斜率。如果把（x,y）视为动点，则・的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率，由已知得（x—3）2+（y—2）2=1,圆心（3,2）,半径为1设y=kx,即kx-y=O由直线与圆相切，得・=1,解得k=H二■的最大值为■,最小值为・。此题也可通过作图用两角和差公式计算。注：以上两题都是数形结合思想中的''形"中觅“数”，“数”上构''形”的充分体现。由所问的问题的表达式结构特征，能让我们联

6、系到用其几何意义去处理。四、线性规划例7.已知x,y满足yWxx+yWlyNT,求z=2x+y的最大值和最小值。分析：先作出可行域，如图所示中AABC表示的区域,且求得A(■,■)、B(-1,-1)、C(2,-l)o作出直线10：2x+y=0,再将直线10平移，当10的平行线11过B点时，可使z=2x+y达到最小值，当10的平行线12itC点时，可使z=2x+y达到最大值ozmin=2X(-1)+(T)二-3,zmin=2X2+(_1)=3o例8•点(a,b)在两直线y二xT和y二x-3之间的带状区域内(含边界)，则f(a,b)=a2-2

7、ab+b2+4a~4b的最小值为O分析：本题考查的知识点是线性规划的应用，我们要先画出满意约束条件y=x-l和y=x-3的平面区域，又f(a,b)=a2-2ab+b2+4a~4b=(a~b)2+4(a~b),又点(a，b)在两直线y=x-l和y=x-3之间的带状区域内(含边界)，得l

8、2=1,可采用三角换元去处理，由x=2cosay=Bsina(a£R)/.2x+3y=4cosa+3・sina=・sin（a+?渍）得，sin（a+?渍）e[-l,1]得，2x+3y的取值范围是・

9、。注：三角换元是常用的一种换元方法，要选择适当的三角函数，使代数问题三角化，充分利用三角函数的图象和性质去处理，但换元时，要注意三角式和代数式的等价性。常见的换元方法：①若x2+y2=r2令x=rcosay=rsina②若■+■令x二acosay=bsina总之，多元表达式的值域，最值问题的处理应是在照顾到题中条件的基础上，注意表达式的结构特征

10、，合理选择方法求解，通过有效的针对训练，掌握常见题型的思维方法，多体会，才能做到真正理解和掌握。