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《实变函数练习与答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实变函数练习与答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。A.所有系数为有理数的多项式集合；B.［0,1］屮的无理数集合；C.单调函数的不连续点所成集合；D以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设E是可测集，A是不可测集，mE=0,则EJA是（）A可测集且测度为零；3可测集但测度未必为零；C.不可测集；D以上都不对。3、下列说法正确的是（）A./（兀）在［a,b］厶一可积o
2、/（兀）
3、在［a,b］L-可积；B./（劝在［⑦切/?—可积o
4、/（兀）
5、在［a,b］R-可积；C./（x）在山力］厶一可积o
6、/（x）
7、在a.bR-可积；D.f（x）在（d,+oo］R—广义可积=>
8、f（x）在［⑦切厶一可积4、设｛乞｝是一列可测集，厶匸耳匸…匸乞…,则有（）加(Q
9、qn=>limmEn；"―>88B.m(lE)=limmE；>8/;=!C.rn(QE„)=n=llimmEn；D以上都不对。5、（AB）UC=A（BC）成立的充分必要条件是（）A.AcB：B.BuA；C.AuC；DCuA。6、设E是闭区间［0,1］中的无理点集，则（）A.mE=1:B.mE=0；C.E是不可测集；D,E是闭集。7、设mE<+oo,｛力（兀）｝是E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）是E上儿乎处处有限的可测函数,则｛九⑴｝几乎处处收敛于/（无）是｛£（*）｝依测度收敛于/（
10、无）的（）C.充分必要条件；D.无关条件。8、设/(X)是E上的可测函数，则()A/(x)是E上的连续函数；B./(兀)是E上的勒贝格可积函数；C./(无)是E上的简单函数；D./(%)可农示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设EuR”,x0gRn,如果兀°的任何邻域中都含有E的点，则称兀()是E的聚点。2、设EuR”,若E是冇界点集，则E至少冇一个聚点。3、设/(无)是E上的可测函数，mA=0,则/(x)是EUA上的函数。4、设在E上,｛fn(x)｝依测度收敛于/(x),则存在｛九⑴｝的子列｛几(兀)｝，使得在E上,｛人(兀)｝敛于/⑴。5、设设A”=[1,2+丄]，⑺=1,
11、2,…)，则购&二。H舁T86设P是Cantor集，G=[0,1]P,则mG=。7、写出一个(0,1)与(—co,+8)之间一一对应关系式o[e~x无是有理数心心是无理数'则叫討g——。9、设E是IO,1JxIO,1J中有理数全体，则E的闭包E为o10、直线上的任意非空开集可以表示成的并集。三、判断题。1、/J?与尺?的势是不等的。()2、设mE<+oo,｛/©)｝为E上一列必有限的可测函数，若在£±｛/,(%)｝必收敛于必有限的可测函数/(%),贝'J｛//%)｝在E上依测度收敛于/(x)o()3、若｛£(兀)｝u厶卩,p二1,Jimfn(x)=/(x)gIf,则limll/,-
12、/
13、
14、/?=0。()4、设/(兀)在(0,+oo)上/?可积，则/'(兀)在(0,+oo)上必厶可积。()5、若P不是E的聚点，则P是E的孤立点。()6、设mE=0,则对E上的任何实值函数/(兀)都有£/(x)tZr=0o()7、设/在EK上可测，则由/在E上可枳可以推出
15、/
16、在E上可枳，但反之不对。…()8、若｛£｝为E上非负单调可测函数列,且lim/,(%)=/(%),则“T8•im£fn(x)dx=£f(x)dx。…()四、计算题与证明题1、证明：若AnB,BDBUC，则AHAUC。2、设/(%)是F上的实值连续函数，。是任意给定的实数，证明G=[xf(x)>a]是开集。3、
17、设E],£*2都是可测集，试证："迟+加坊=加(目U尽”‘讥代介5)。4、设在可测集E上，/,(%)—/(%),且fn(x)°°5、设/,(%)/(x),/,(x)g(x)，则f(x)=g(x)在E上儿乎处处成立.6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算lim舁T81+nx1a+x2rdxo8、若r,p,9>0,-=-+且有关函数的积分存在，证明：ll^ll^ll/HJg答案一.选择题1.B2.C3.A4.B5-D6.A7.B8.D二•填空题1.无穷多个2.无穷3•可测4•几乎处处收敛
18、5.[1,2]6.17.j=ctg7Tx10•冇限个或可列个构成区间三.判断题1-X2.3.X4.X5.X6.V7、X四、证明与计算1•证明：根据集合的性质有:A=[A（BUC）]U[An（BUC）]AUC二[a（buc）]U（buc）并且集合A(BUC)与AA(BUC),A(BUC)与BJC是不相交的。由于BuA,因此Bu[An（BUC）]uBUC,由题设BDBJC可知An（BUC）DBUC,于是AdAJC.2、设x()wA!，则存在A中的
