[教学]数学归纳法基础

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1、一、基础知识：1.归纳法：由-些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊f一般.2.不完全归纳法：根据爭物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法：把研究对象一一都考査到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所冇(冇限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，乂叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊悄况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法來证明它

2、的正确性：先证明当n取第一个值n。时命题成立;然后假设当n=k(k包含于Nk^no)时命题成立,证明当n=k+l时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n。，如果当n二n。时，命题成立，再假设当n=k(k^no,kWN')时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+l时，命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n。的正整数no+1,n0+2,…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

3、(1)验证n取第一个值n。时命题的1E确性。(递推基础)(2)证明“山n=k时命题正确可推得n=k+l时命题也正确”。(递推的依据)(3)由以上两步骤得出结论。以上的第-•步与第二步缺一不可。如果只冇第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n=时，命题成立，至于n取英他自然数的悄形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎能由递推的特性把n取所有口然数的情形都证明了。但细细想來，还是有问题的，试想，当口=臥时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的

4、基础又去哪儿寻找呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”，很不可靠,二、数学归纳法疑难点归纳难点1：对象的无限性。数学归纳法所证明的是无穷个命题P(1)、P(2)、P(3)、……、P(n)、……为真，无袪一一检验，需要寻找一种好的办法來解决。难点2：作为认识这个抽彖“对象”的必耍基础，学牛本身递归方法的知识不够，往往把“不完全归纳法”作为“数学归纳法”，川有限来说明无限，不能理解数学归纳法所渗透的数学思想。难点3：对数学归纳法第二步的真实作用不够明确，学生而临

5、的心理闲难主要是：®n=k时，命题P(k)到底成立还是不成立？怎样证明？②既然成立，何必用假设两个字呢？用“已知”不就得了；③假设n二K时命题成立不就是假设原命题成立吗？把n二K时的假设P(k)与原命题P(n)混淆起来。难点4：对数学归纳法的真实性表示困惑。为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数都成立呢？为什么只须验证“呼臥”的情况呢？为什么可以“假设fK时结论正确”呢？难点5：具体使用数学归纳法是一种全新的证明格式，它的掌握需耍一个过程,尤其到第二步的证明更感陌生，不知道如何使用(甚至不使川

6、)归纳假设，不能自觉的寻找P(k+1)与P(k)的递推关系。三、学法探秘数学归纳法是证明冇关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n。时命题成立；第二步从n=k(k^n0)时命题成立的假设出发，推证n二k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。需耍注意的是：在第

7、二步证明“当n=k+l时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n二k时命题成立”这一条件。因为“当n二k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n二k+1时命题成立”只是一个待证目标。“观察一归纳一猜想一证明”是一种I-分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，乂能址明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个巫耍内容，也是近儿年高考的一个考杳重点。四、证明过程中的注意要点1、证明三步骤，加强规范化数学归纳法证题格式应分三步，要使学生在理解的基础上记忆。第一步是正确性的慕础，验证P

8、(no)真；第二步是传递性的依据，核心和关键，证明从前一号命题P(K)到后一号命题P(K+1)有传递性；笫三步是一个递推的过程与结论。即根据笫一笫二步可得P(n)对一切自然数n都成立。第三步不是对数学归纳法的证明,但直接地说明了数学归纳法的递推过程，当中传递过程的具体化:P(l)真P⑵真P(3)真“““上式能使我们清楚地看到第一步与第二步在功能上有不同的分工，但乂缺一不可，服务于同一目的。上述证明三步骤中关键是第二步，学生理解