导数及其应用初探-

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1、【标题】导数及其应用初探【作者】吴林【关键词】导数，经济弹性，应用，方向导数与梯度【指导老师】韩最德【专业】数学与应用数学【正文】引言导数最初是法国数学家费马(FERMART)为研究极值问题而引入的，最后由英国数学家牛顿(NEWTON)和德国数学家莱布尼兹(LFTBNTZ),分别研究力学已知运动规律求速度和儿何学已知曲线求它的切线的过程中建立起来的。在随后的三百年的时间里，经过无数数学家的不懈努力，微积分理论已经非常完备了，但是其应用无论是深度还是广度我们都有必要去进—步探索。微积分如何与生产实际相结合，现在已经成为热门话题。因为我们教育出来的学生，如果只会书

2、本知识，而不知把这些书本知识用于实际，则不利于以后就业和工作。所以有识之士,都在大力倡导将理论教学与生产实际相结合起来。但是我们一般所研究的问题，主要是以下儿个方面：利用一阶导数判定函数的增减性，求出函数的极值与最大(小)值；利用二阶导数判泄函数的极性、研究曲线的凹凸区间和拐点坐标；利用导数研究函数的性质来绘制函数的图形。其屮求函数的最大(小)值与经济生活的最优化问题有着密切的联系，可用来分析社会经济中的诸如生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用、费用的节省等系列问题；利用导数的变形给物理等领域的计算带来方便。下面我们用导数的知识来优化分析、解决这些问题

3、。1.导数的概述1・1导数的定义［1-4］设函数y=f(x)在点x的邻域内有定义，若极限存在表示函数y二f(x)在x点的导数，记为f(x)o又由极限的性质可以知道：(当时)所以，即比是高阶无穷小，于是可以用近似代替，记=1时即近似的表示的基础变量改变一个单位时，的改变量。2.导数的应用2.1导数在经济屮的应用导数是高等数学中重要的基本概念之一，市其定义可知函数的导数就是两数的变化率，它描述的是该函数所表示的那个事物或现象的变化情况，当然包扌舌经济现象，导数在经济方面也有它的实际意义。包括经济弹性和边际等。2.1.1经济弹性［5-7］及相关应用经济弹性的定义：如

4、果有经济函数y=f(x),在点可微，自变量增加到，自变量的相对变化为；y的相对变化为今的绝对改变量是y二y的绝对变化率是，y的相对变化率是：称y=f(x)在点的相对变化率，为y=f(x)在点的弹性，或为y的相对导数记为：因此，函数f(x)在点的弹性近似地表示当自变量相对改变,函数y=f(x)在点相对改变量的百分数。2.1.2弹性在经济领域的相关应用。2.1.2.1需求的价格弹性消费者对某一物品的购买量，是受多方面的因素影响，如果只考虑价格变动而影响需求量,那么分析价格变动时，对需求量影响的量度就是需求的价格弹性。设P是价格，而需求函数为：应为需求函数是单调递减

5、的函数，即，一般在定义需求函数时耍在前面加一个负面加一个负号。B

6、J,便于我们讨论。得需求的价格弹性是需求弹性近似地表示在价格P基础上，当价格相对变动吋，需求量相对改变量的百分数。2.1.2.2需求的价格弹性的应用：用需求弹性分析总收益的变化由需求函数，有总收益，于是求导得：(其中为需求弹性)贝I」：(1)<1时，>0,总收益R随着价格P的增加而增加；(2)>1吋，<0,总收益R随着价格P的增加而减少；(3)二1时，二0,即这时总收益R最大。例1设某种商品的需求量Q价格的P函数关系为(1)求需求弹性；(2)当商品价格时，再提高，那么需求量是如何变化的？(3)当

7、商品的价格等于多少时总收益量最大？解：(1)(2)当时再相对提高，需求量约相对减少。(3)由已知得：即二，又因为二1时总收益最大。所以时总收益最大。例2设需求函数(其中P价格)求(1)需求对价格的弹性；(2)求当时的弹性，并说明其经济意义。解：(1)需求的价格弹性为(2)当时,经济意义：当价格时，再相对提高时，需求量将近似地相对减少。2.1.2.3供给弹性的定义供给弹性一般是指供给的价格弹性，它表示因价格的变动而引起的供给的相对变化率。设供给函数为Q二f(p)(其中p是价格)供给弹性是=经济意义：供给弹性近似地表示在价格的基础上，当价格相对变动1%时，供给量相

8、对改变量的百分数。例1设供给函数Q二f(p)=-12+4P+求当时的供给价格弹性，并说明其经济意义。解：供给弹性为：所以当时，供给弹性上述结果表明：当价格时，再相对提高时，供给量相对提高。以上我们不难得出：假设商品的供求只于商品的价格有关，则需求函数为：(其中P是价格)单从消费者的角度来说价格P越高，需求量越小；供求函数为：Q二f(p)(其中P是价格)从生产者的角度来说，价格P越高，供给量越大。生产者要求价格P越高越好，利润越高；消费者又要求价格越低越好，这样用少量的钱就能购买合适的商品，这无疑就成了一对矛盾。如何即使生产者有利润可图，又使消费者满意，只有采取

9、折中的办法：制定合理的价格。如下图即为