g0,若彳>1,则日";若务1则水加②伙0,若号>1则a2、明不等式[例1]己知正数日,b,c成等比数列.求证:a—lZ+c^-(c?—/?+)2.[思路点拨]作差一变形一判定符号一结论证明:因为正数b,c成等比数列,所以8=ac,b=y[acf(a—If+c)—(a—b+c)2=a~甘+c—a—I)—c+2ab~2ac+2be=2ab—4&+2bc=2bla—2b+b=2力(込—讥)空0.所以a—1)+c^(日一b+c)[方法・规律•小结]〜(1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效
3、的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或儿个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论.I、1.求证:/+臼一b—1)・证明:/+庁一2(曰一方一1)=(日一lF+d空0,a+1)^-2(日一Z?—1).2.己知日,方WR+,z?WN+,求证:(日+方)3+为冬2@用+方丹).证明:・・・(臼+方)3+閃一2(f+方丹)=才+
4、+白方”+尿"+方"+】一2#+】一2方如=日(方"一自")+力(日"一力")=(日一方)(
5、方"一旳.(1)若玄">0时,HUa-b>0,(臼一Z?)(/?''—a)<0.(2)若方>臼〉0时,厅一#>0,c3~b<0.・;(臼—方)(方"—a)<0.⑶若白=方〉0时,—G(a—Z?)=0.综上(1)(2)(3)可知,对于日,bGR卜,用N+,都有(日+力)3+仍023知+肘‘).痔点二作商比较法证明不等式b[例2]设日〉0,力>0,求证:才Z/'N(日方)=-.[思路点拨]不等式两端都是指数式,它们的值均为止数,可考虑用求商比较法.[证明]•:@力)庁
6、>0,ab当a=b时,显然有(])
7、;J=1;当日>方>0时,彳>1,号>0,所以由指数函数单调性,有㊂哥
8、>1;当qqo时,o与<1,乎〈0,所以由指数函数的单调性,有(扌忖
9、>1.综上可知,对任意实数日,b,都有刃彷2(“)FR[方法•规律•小结]当欲证的不等式两端是乘积形式或幕指数形式时,常采用作商比较法,用作商比较法时,如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果与1比较.集制"〃〃才—幵o—1.设自>方>0,求证:奔了>不・证明:a—b[b'—S+E]a+a+b2aba—b=>0,所以原不等式成立.法二:Va>b>0,故/〉方2〉o.故左边>0,右边>0..左边日+力2(2ab、••牙萨+・••原不等式成立.4.若曰>0,Z?>0,c>0,求证:al
10、y'c^{abe)・••原不等式成立.1比较法的实际应用[例3]甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度/〃行走,另一半以速度刀行走;乙有一半路程以速度/〃行走,另一半路程以速度/?行走.如果/〃工刀,问甲、乙二人谁先到达指定地点?[思路点拨]先用加〃表示甲、乙两人走完全程所用时间,再进行比较.[解]设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为仇,t-2,依题意有:tx,tx二■加十二~/7=S,。2ssn••t=;9方2=Q.m+nImn•_2ssm+n••办“m+n2mns[4〃〃?—m+n2]sm—n2mnni+n
11、2/nnm+n其中s,/〃,刀都是正数,且〃/t—十2〈0.即tz.从而知甲比乙先到达指定地点.[方法・规律・小结]、应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决.也即建立数学模型是解应用题的关键,最后利用不等式的知识来解.在实际应用不等关系问题时,常用比较法來判断数的大小关系,若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断.〃〃〃氐0集眦仃〃〃5.某人乘岀租车从力地到〃地,有两种方案;第一种方案:乘起步价为10元.每千米1.2元的出租车,第二种方案:乘起步价为8元,每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例