10312数学归纳法与数列的极限(答案)[宝典]

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1、第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：1、数学归纳法用于证明一些与止整数有关的命题，即通过对有限个止整数证明命题成立,推广到对一切止整数命题都成立的思想方法，主要步骤为⑴证明起始命题成立(即斤=1或1=2,…命题成立);(这是证明的某础)⑵假跖=k(kn1,2,…)时命题成立,由假设条件推出当〃=k+1时命题成立;(这是递推的关键)⑶由(1)、(2河知对于z?gN,命题均成立.注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理就像多米勒骨牌！2、证题的关键在于用好归纳假设(2),在-般的情况下，由假设心心寸命题成立

2、为出发点推出n=k+1命题成立即口J.3、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题I寸需耍先通过归纳得出结论,再用数学归纳法证明，那么要求能正确地归纳.4•数列的极限：一般地，在无限增人的变化过程中，如果无穷数列｛an｝^的项无限趋近丁•一个常数A,那么A叫做数列｛色｝的极限,或叫做数列仏｝收敛于A,记作limaw=Ao注意点：1)只有无穷数列，当〃趋近于无穷大时，色无限趋近于某一常数；2)对于数列｛①｝,当〃无穷增大时，色无限趋近于某一定值时c,是通过肚-可无限趋近于零来描述的。这里d

3、”-c无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数(可以任意给定)，总可以通过取川充分大以后，使c充分接近于零，如果这个任意小的正数用£来表示，那么当〃充分人时，总有0”-c<£。3)极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。5.极限的运算性质性质：1)如果lima”=A,hmhn=B,贝!JX->00(1)lim(a”±bn)=iman±limbn=A±B.>00N—>8X—>0C(2)lim(a”-bn)=liman-limbn=A-B.n->ocxf0alimanA⑶=h0也工0).slim仇BX—>

4、0001不存在同V1q=同〉1或纟=_1注意：我们只研究极限存在的运算。c2）几个重要极限：limC=C;lim-=O;lim^=^/?—><»nfg斤/?—>qolim并一>00Lk_akn+ak^n+•••+a}n+a()bjH1+b[_”i+…+bj+b()b!=<0不存在l=kl>kl

5、际上可推出:5=limSn:93)化循环小数为分数可分解成-个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如0.9芍"0.12=12-19011_90例题1、选择题⑴用数学归纳法证明不等式丄+丄+…丄＞旦的过程中，由R推导—1时，不等式左边增加n+1n+2n+n24T•(A)i:(B)+；(C)+—-—伙+1)+伙+1)(£+l)+(k+l)k+k+1k+1(k+l)+(k+l)R+k+1(D)以上均错解：当n=不等式左边为丄+丄+…丄；当”=£+1时，不等式左边为k+1k+2k+k丄+丄+...+丄+_!_+

6、—!—,那么不等式的左边增加了k+2k+3k+k£+l+kk+l+R+1+,故选B.(£+1)+(£+1)k+k+1k+1⑵用数学归纳法证明命题”当料为正奇数时，疋+y”能被兀+y整除”，在验证心1正确后，归纳假设应写成.(A)假设n=k(keM)时命题成立(B)假设斤＜k(keM)时命题成立(C)假设兀=2k+1伙gN)时命题成立(D)假设〃=2k-(keM)时命题成立解:•••〃为正奇数,.•.在验证斤=1后，归纳假设应写成n=2k-(kgNJ吋命题成立，故选D⑶某个命题与正整数〃有关，若当〃=时,该命

7、题成立，则可推出爪£+1时,该命题成立，现已知当心5时,该命题不成立，那么.(4)当=6时该命题不成立(3)当办=6时该命题成立(C)当n=4时该命题彳、成立(D)当n=4时该命题成立提示：逆否命题为“已知"£+1不成立，推出〃丸不成立”。解:显然选C,否则不符合题设.例2、求极限:”+1/卄1（1）已知d、方均为正数，那么lim=nxa+ba+n•b1+(b=°;当°=HI寸，原式=lim"—>00a当aHI寸），a或方（当a=/?时），/?,（当avMl寸）.提

8、示:lglvl,则limlgUO.极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出g值。n+b=b,n+1(132—1)U2+i斥+ih2+i)nn-p-v1+3(2/?—1)r/W:原式=lim；=lim——“toon"-4-1”T8+]⑵求limHT8lim—=1.n->coI1+Pn注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是冇限的。⑶lim（2n-咖—kn+3）=1,则k的值等