关于线性代数的二三事

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1、关于线性代数的二三事（整理而成非原创）1.线性代数的教学主线通过线性代数课程师资网络培训的学习，从李尚志老师那里，我学到了很多东西，在很多方面有了新的认识，收获很大，感触颇深。通过与参加培训的老师们的广泛交流，让我对其它高校线性代数的教学状况有了新的了解，也促使我开动脑筋，对线性代数课程进行更深层的思考。在参加培训和培训结束后的这些日子里，我看了很多有关线性代数的教学资料及教材，但由于时间比较紧，有些只能做到初步了解，还没来得及做更深入的研究。在这段时间里，我总是感觉很激动，很兴奋，我计划借这次培训的东风，进一步加强学习，使自己对线性代数的理解和教学水平能有一个质的飞

2、跃。下面针对线性代数的教学主线谈谈我个人的理解。线性代数的主要研究对象是矩阵、向量组、线性方程组、二次型、线性空间和线性变换。其中矩阵部分的内容最多，也最丰富，矩阵部分的内容包括：矩阵的基本概念、矩阵的基本运算、分块矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、行列式、可逆阵、矩阵的秩、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的相似变换、矩阵的合同变换及正定矩阵。矩阵是线性代数的主线和骨架，讲线性代数主要是讲矩阵的理论。线性代数的主要问题和主要概念来自于线性方程组和空间解析几何，将矩阵的问题与线性方程组和空间解析几何有机结合，把向量组、线性方程组、二次型和线性变换中的主要问题看作矩阵理论的应用

3、。突出矩阵的三个数值特征（行列式、秩、特征值>矩阵的行阶梯形（包括方阵的上、下三角形>矩阵的三个标准形（等价标准形、相似标准形及合同标准形）的重要性，以下是我对线性代数教案的设计。首先介绍矩阵的基本概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法和分块矩阵，然后介绍矩阵的初等变换与初等矩阵，讲述初等变换与初等矩阵时，重点是讲述一个矩阵乘初等矩阵等价于对该矩阵进行初等变换，即乘初等矩阵的等式与初等变换的相互转换关系。向学生渗透线性代数研究问题的主要思想之一是：研究对矩阵作何种变换能保持矩阵的何种性质不变，而要得到这些结论主要是先证明一个矩阵乘以某种初等矩阵能保持矩阵的某种性质或矩阵所对

4、应的某种量不变。例如，行列式的性质中有三条可用初等变换的语言来描述，根据倍加变换不改变行列式的值，可通过用倍加变换把方阵化成上（下）三角阵来证明方阵乘积的行列式公式及分块上（下）三角阵的行列式公式，化为上（卞）三角行列式来计算行列式的方法也是矩阵化简的主要思想，初等变换不改变矩阵的秩的结论可通过证明乘可逆阵矩阵的秩不变来获得，用初等行变换求逆矩阵的方法的讨论也用到了上面的思想。矩阵的初等变换的讲述重点之二是：讲述怎样用初等变换将矩阵化成阶梯形和等价标准形，以及只用倍加变换将方阵化成上（下）三角阵的做法。问题的描述和证明尽量采用分块矩阵的形式。把行列式作为方阵的数值特征

5、，行列式的性质及计算尽可能地使用矩阵的语言和方法。讲述向量组的线性相关性、向量组的秩及向量组的极大线性无关组时，先主要介绍基本概念和一些简单结论，然后马上引入矩阵的秩的概念，重点介绍矩阵的秩的性质，把向量组的线性相关性的讨论、向量组的秩和极大无关组的求法以及向量组之间的线性表示的研究作为矩阵的秩的应用来加以解决。把线性方程组解的存在性和解空间的研究看作向量组和矩阵的秩的应用，线性方程组的通解的表示可看作极大线性无关组的应用，解线性方程组的主要计算就是化矩阵为行最简形。讲述矩阵的特征值与特征向量、相似对角化及二次型部分时，先重点讲述特征值与特征向量的性质、相似矩阵的性质

6、、相似对角化的条件及做法、实对称阵矩阵的相似对角化与合同对角化以及对称正定矩阵，然后把化二次型为标准型及正定二次型的研究作为实对称阵相关结论的应用。通过把线性空间与向量组联系起来，把线性变换与矩阵对应起来，可把线性空间及其线性变换看作向量组与矩阵的应用。在讲课的过程中，注意强调矩阵的三个数值特征（行列式、秩、特征值>三个标准形（等价标准形、相似标准形、合同标准形）及矩阵的行阶梯形和最简行梯形的重要性，并让学生明白线性代数的计算主要是通过对矩阵进行初等变换来完成的。例如，方阵是否可逆的判断、伴随阵的计算、nxn型线性方程组的解的研究、Cran®r法则、方阵的行（列）向量

7、组的线性相关性的判别、矩阵秩的定义、特征值的计算、正定阵的判定都用到行列式；向量组的线性相关性的判别、极大线性无关组的计算、一般线性方程组解的存在性、齐次线性方程组解空间的维数、方阵是否可对角化的讨论以及二次型的秩都用到矩阵的秩；方阵的相似对角化及二次型的研究都用到矩阵的特征值。大连理工大学应用数学系—代万基2007-11-212.2015线性代数考研复习主线线性代数，相对高数来说，是比较简单的学科。但是考生的得分不是很理想，这主要是没有掌握住线性代数的特点：内容抽象;概念多，性质多；内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。一、内容抽象，尤其