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1、如何作辅助线□一、在解决梯形问题中：1.“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）;2.“作高冬使两腰在两个直角三角形屮（图2）；3.“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；4.“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；5.“等积变形”：连结梯形上底一端点和另一腰屮点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）；6.“作中位线冬连接两腰中点（图6）。二、在解决圆的问题中1.切线问题：连结过切点的半径，构成直角三角形。2.有关弦的问题：作弦心距，想垂径定理。3.弧上有中点：中点连接圆心，想垂径定理。4.圆周角问题：过角顶点作直径，
2、分别连接直径另一端与角两边的端点，构成两个直角三角形。或连接圆心与圆周角一边的端点，想圆周角定理。5.有直径：过两端向圆上一点作弦构成直角。6.两圆相交：连公共弦。7.两圆相切：过切点引公切线。三、在解其它问题中1.给出中点或中线：可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。2.给出角平分线：可向角的两边作垂线。3.给出线段垂直平分线：可向线段两端作连接线。4.在比例线段证明中：常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个屮间比与结论屮的另一个比联系起来。5.求证一线段为另一线段的2倍或一半：可延长短线段一倍或将长线段平分为两段。6.等腰三角
3、形：常作底边中线，想“三线合一”。1.直角三角形：作斜边上的屮线，注意它等于斜边的一半。2.求证线段相等：可考虑构成全等三角形。3.求证线段成比例：可考虑构成相似三角形。例］.已知：在AABC屮，ZC=90°,ZA=30°,如右上图所示.求证：BC二丄AB.2D例2.如图所示，在厶ABCip,ZB二60。，ABM,BC二2.求证AABC是直角三角形。例3.如图，在AABC中，ZA=90°P为AC边的中点，PD丄BC,=AB2□证明：连结BP,在RtABPDBD2=BP2—PD?①在RtACDP中，CD2=PC2-PD2②由①一②得：BD2-CD2=BP2-PC2•・•
4、AP=PC・・・BD2-CD2=BP2-AP2又・.・ZA=90°・・・在RtAABP中，AB2=BP2-AP2・・・BD2-CD2=AB2例4.如图，平行四边形ABCD中，E是43的中点，G是4C上一点，AG:GC=1:5,连％延长交AD于F,求竺的值.FA□解：延长FE、CB交于H（如图）VAE=EB,ZFAE=ZI1BE,ZFEA=ZIIEB•••△FAE仝△HBE,AF二BH设FA=a,则HBf在AFAG和AHCG中，・・•三个对应角分别相等D为垂足。求证：BD2-CD2ACJFA1・•・AFAG^AHCG,—=—得CH=5FA=5a,DA=CB=CH-BH=
5、4a,DF=3aGCCH5・DF_qFA例5.已知：如图，梯形ABCD'[•,CD//AB,ZA=40°,DCZB二70。•/i求证：AD二AB—DC・证明：作DE〃CB（见右图）VCD//AB四边形CDEB是平行四边形，EB=DC・VZA=40°,ZB=70°•AZDEA=ZB=70°・ZADE=180°-40°-70°=70°AZADE=ZBEDAI）=AE・・・AD二AB—EB二AB—DC例6.如图，在四边形ABCD屮，ZA二60°,ZB二ZD二90°,BC=2,CD=3,求AB.解：延长AB、DC相交于点E,则ZE=30°AAECB^AEADVEC=2BC=4
6、,EB二EC・cos30°=4X迟二2爺2错误！嵌入对象无效。•••ED二EC+CD二4+3二7，EA二ED=7」4打cos30°_丁亍2・・・AB二EA-EB=11V3-2V3=-V333例7.如右上图所示，在四边形ABCD中,AD〃BC,AB二AD+BC,E是CD的中点,求证：AE、BE分别是ZBAD和ZABC的角平分线。错误！嵌入对象无效。□证明一：取AB中点G,连结EG（见右下图），贝IJEG二*（AD+BC）AB=AD+BC,AEG=-AB=AG=GBZ.ZABE=ZGEB,ZBAE=ZGEA2又・・・AD〃BC,EG是中位线，AEG#AD,EG〃BC,AZ
7、EBC=ZGEB,错误！嵌入对象无效。ZDAE=ZGEAAZEBC=ZABE,ZDAE=ZBAE,即AE、BE分别是ZBAD和ZABC的角平分线。证明二：延长AE交BC的延长线于F（见右图）,VE是CD的屮点，即CE=DE,又・・・AD〃BC,AZD=ZECF错误！嵌入对象无效。CE=DESAADE和AFCE中，ZD=ZECF,AAADE^AFCE,AD=CFZDEA=ZCEFAB二AD+BC二BC+CF二BF,ZBAF=AFB=ZDAF同理，可证ZABE^ZEBC
