专升本高等数学统考样题2

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1、1、2、3、专升本高等数学统考样题2（理工类）单项选择题（每小题4分，共20分）已知二元函数z=3/y+b，则下列偏导数正确的是(A)dz,dz.dz9dz2A、—=6xy,B>—=6xC>亍=3y,D、—=3xydrdxdydy解:^=(3x2y+y3)v=6xy+0=6xy,

2、^=(3x2y+y3)=3x2+3y2dxdy1,1)一(B)(dx-dy)B、e(2dx-dy)C、2dx-dyd、2edx解:^=(e2x-y=2e2x~y9字=(宀)厂—宀dxdycdz=2e,——(i,i)将兀=l,y=l代入，得宇dx所以dz=-e(1,1)=2edx一edy-e

3、(2dx-dy)l丄」丿^D=(x,y)

4、龙]解JJx2CQsydxdy=£x2dxxfcosydy=£(-x3)'心x『(siny)'dy=(——0)x(l-0)n00303dy4、微分方程的通解为(D)dxA、y="+CB、y=ex+ecc、=eCx1)、.y=Cexdy,解：分离变量，得==力，两边积分，有J号M如得iny即Iny=Inex+InC=ln（c^v）,所以歹=CH5、若幕级数工匕丿"的收敛半径为3,则下列叙述正确的是（D）n=0A、该幕级数在x=4处一定收敛B、

5、该幕级数在x=-2处不一定收敛卜该幕级数在无二3处一定发散D、该幕级数在x=-3处不一定发弹OO解：依据阿贝尔定理，当R为正常数，工％;在（—R,R）内绝对收敛，n=0当x=±R时，幕级数可能收敛也可能发散。，填空题（每小题4分，共20分）6、设/(x,y)=X+y-yjx2+,则/(3,y)=(&T)解：/(3,y)=3+y-+y?=J(3+y)?-J(3+y)“-6y=y7、微分方程y//-4y/+4y=0的通解为y=（（Ct+C2x）e2x）解：其特征方程为尸一4厂+4=0,它的根厂

6、=乙=2,于是通解为y=（G+Cx）w"8、设f（^y）为连续函数，交换二次积

7、分/=dx^/（x,y）dy的积分次序,L(0)解：/(兀刃=扌+『2=],^(x2+y2)ds=^ds=QLL8Hn10、设级数工S（d>0）发散，则常数Q的取值范围是（a>1）zi=l力"+]22角军：p=Lim=Lim•—=Lim—-—•a=a>,所以Q>1o"T8知n^oo（,2+1）2an”too（斤+1）2三、计算题（每小题8分，共40分，解答应写出推理、演算步骤）、11＞求微分方程xy'+y=cos兀的通解解：先解对应齐次方程xy'+y=0,dy_ydxx分离变量，得^~=--dx,两边积分^-=--dx,yxJyJxcWIny=-Inx

8、+InC,y=—,x再设原非齐次方程的通解为y=血（C（x）待定）X将y二口£）和/=C-（A）X-C（A）=Ctv）—主代入原方程,XXXXCz（x）H-cosX=0,整理后得XXCz（x）=cosx,积分后得C（x）=sinx+C因此,原方程的通解为y=sinx4-Cx12、求微分方程『+戶+2兀=0满足初始条件yx=（）第一次积分,解：将原式写成/=-口-2无，（形如）—/（兀）的方程）降阶/=-戶—2x）dx=-X2+G第二次积分,得通解T_—F+gdx=_.r=0x=0—=0+C

9、22解得<1=-丄-o+o+c.4一、二丿穆分别代入上式，得方程组2e2xTX

10、3亍+W+C2c,于是特解为尸-孑-专+卄寸dz2x3z2y斛：dxx2+y2，dy~x2+y2d2z2x1一4xydxdy29x+yy(+X)213、设“皿卄）,求將，霁,丽14、计算二重积分Hydxdy其中d是rtix=/+i,x=o^=o^=i所围成的D区域。解：积分区域D如图所示，由图可见，本题宜先对x后对y积分，得1]=-」40]]）嗣y訂；曲厂D15、计算二重积分jjeAVdxdy,其中D为圆环线1<^2+/<4OD解：所给圆环区域D如图所示，在极坐标下可表示为0<^<2^1

11、，解答应写出推理、演算步骤）16、设函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-2z=0所确定，求善，牛及血(6分)。解:将原式写成*+y2+z2—2z=0,记F(x,y,z)=x2+y2+z2—2z求出三个偏导数，J=2x,Fy=2yfFz=2z-23zFr2xdzF2y代入偏导数公式得看-寸応,瓦T—可二三.3z,3z,lx.2y,dz=—dx-ay=ax+dydxdy2-2z2-2z17、求f(x.y)=x2+y2+2x-4y的极值(7分)。解：所给函数的定义域为全平面，解方程组—=2^+0+2-0=0dx3z得驻点(-1,2)一=o+2y