类比法在数学解题中的运用

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1、类比法在数学解题中的应用摘要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题屮的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。关键词：类比法；数学解题；应用类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个（或两类）不同的对彖进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象屮去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；

2、共有属性于是木质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法乂是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为对象A具有属性a、b、c,对彖B具有屈性a、b猜测对象B具有属性c复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为H蕴涵AH蕴涵B,B真猜测A可能真类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其止确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示

3、如下：类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。一、平而几何与立体几何的类比有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。例1如图1,在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心0,且与BC、DC分别截于E、F,如

4、过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别为5,,5.,则必有（）(A)&>S2(B)&VS?(C)（D）$与S2的犬小关系不能确定AA分析本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比：空间平面三棱锥三角形三棱锥的内切球三角形的内接圆三棱锥的表面积三角形的周长三棱锥的体积三角形的面积由此可得到平面几何中相应的问题：如图2,在口ABC屮，直线EF经过其内切圆的圆心0,且与AB、AC分别交于E、F,如果线段EF将UABC分成面积相等的两部分，设DAEF与四边形EBCF的周

5、长分别为LI、L2,求LI、L2关系。设内切圆半径为r,将四边形如汾割为QEOBnBOCCCOF三部分，将□AEF分害9为口AOE口AOF，贝ij^LEOB+GjBOC+询COF=・•・(BE+BC+CE)r=(AE+AF)厂,・•・AE+AF=BE+BC+CE由此得L1=L2,由类比思维可以猜想例1屮的S.=S2,其思路与相应的平面几何问题相仿，即将四棱锥A-BEFD分割为0-ABD,0-ABE,0-ADF与0-BEFD四部分，而将三棱锥A-EFC分割为0-AEC,0-AFC0-EFC三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C。除

6、此之外，高中数学中常见的还有解析几何中不同圆锥曲线之间性质的类比，不同类型三角函数性质的类比，等差数列与等比数列的类比，平面向量与空间向量的类比。我们也可以利用两类事物Z间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。例2在□ABC中，丄AC,AD丄BC于D。求证：亠二一J+—那么在四面体ABCD屮，类比上述论据，你能AD2AB2AC2得到怎样的猜想，并说明理由。证明：如右图所示，由射影定理，AD2=BD•DC、AB2=BD•BC,AC2=BC・DC,所以：1_]_BC?_BC2~AD^~BDDC~

7、BDBCDCBC~AB2AC25LBC2=AB2^AC1_/4肝+力_111_11AD1"AB2AC2~'—乔十!^7。猜想：类比AB丄AC,AD丄BC,猜想四面体ABCD屮，AB、AC、AD两两垂直，AE丄平面BCD,则厶=丄+厶+厶。AE2AB2AC2AD2证明上述猜想成立。如右图所示，连接BD交CD于F,连接AF。因为4B丄AC.AD丄BC,所以AB1平面ACZK而AFu面ACD,故A3丄AF。在RtJABC中，AE丄BF,故厶=—1牙+丄.AE2AB2AF2在RtOACD中，丄0/),故一^二一^+—^・AF2AC2AD2所以

8、:7=rrH7•故猜想正确oAE2AB2AC2AD2二、形式结构上的类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。