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《关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、表示符号把某函数对于白变量X的导数写成D,即D=—odx例如，函数y对x的一阶导数为史=y‘，可以表示成Dy,同理，y"可以写成D2y＞三阶、dx四阶….以此类推丄则代表着求积分，如丄X,就是fxdx,参看复习指导DDJ二、微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：aoy(n)+a1y(n-1)+...+an_Iy,+any=f(x)(1)当然,你也可以写成:y(n)+p1y(n-,)+---+pn_ly,+pny=f(x),本质都一样，这种形式相当于(1)方程两边同时除以励(工0)这里我们以(I)式为准。用微分子形式表示方程(1)：a0Dny+a1
2、Dn-'y+---+an_IDy+any=f(x)方程左边把公因子y提出来:(a0Dn+a1Dn-1+•••+an_,D+an)y=f(x)上式中，把+aQZ+•••+an_ID+an)看作关于D的一个函数表达式,表示成F(D)即F(D)=(a°D11+a]D111—•+a*_]D+a“)则方程(1)最终可以写成：F(D)y=f(x)三、相关结论F(D)ekx=ekx・F(k)•'也可以写成：—ekx(分母不为零时)，若分母为零，参见指导书表格内的公式F(D)F(k)证明:F(D)ekx=(a0Dn4-ajD*1-1+•••+an_1D+an)ekx=
3、a0(ekx)(n)+a,(ekx)(n-1)+•••+an_I(ekx),+an(ekx)=aoknekx+-.-+an_,kekx+anekx提出公因子』x(aokn+a,kn-'+.--+an_1k+an)ekx=F_(k)_ekx••■■••T注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不-•样的,左边F(D)是求导，具体來说左边是(a0Dn+UjD11-1Ha.n_
4、D+an)ekx,即a0(ekx)(n)+a1(ekx)(n_1)+•••+an_1(ekx),+an(ekx),而方程右边则是(ef乘于多项式f(k)其中，左边的带下划线的部分的函
5、数形式与F(D)一样，因此写成F(k)形式，只是字母是常数k,而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k的多项式了。同理可以证明：F(D2)sinax=sinax•F(-a2)>即—sinax=F(D2)sinaxF(-a2),(分母不为零时)AF(D「)cosax=cosax•F(・a~),即詁产”詳，(分母不为零时)F(D)ekxv(x)=ekxF(D+k)v(x),即—ekxv(x)=ekxv(x),(分母不F(D2)F(D+k)为零时)，V(x)是一个关于x的函数,如sin2x,或者x+1这就是复习指导上的微分子算法公式表格里的结论，至于具体
6、用法参考后面的例题；复习指导上还有分母如果为零时对应的计算公式。此外,还有两个表达式，涉及到了实数虚数,仅供参考:由于:e,bx=cosbx+isinbxe',bx=cosbx一isinbx,Sinbx=—[e^-e-ibx],cosbx=-[ebK+e~ibx],其中i为虚数符号2i2F(D)sinax=丄吓⑴比毗—F(D)e"bx卜丄人曲尸他)—e^F(-ib)J2i2i四、非齐次常微分方程的特解*1由F(D)y=f(x)得，y二f(x)F(D)根据f(x)不同的形式，运用不同的公式，公式也就是复习指导上的表格里的，这里不再熬述，大可参看指导书。例
7、如f(X)二尹时，或者f(x)=v(X)时等等五、非齐次方程特解微分子求解示例例I、y护一2y"—5y，+6y=e“x解：方程町写成D'y—2D?y—5Dy+6y=e取提出公因子y：(D3-2D2-5D+6)y=e4x,故F(D)=(D3-2D2-5D+6),f(x)=e4x1Iekx则F(D)y』，特解心丽f(x),根据求解的公式丽宀丽1cqx故八eF”2x4—5x4+6飞例2、y"+4y=sin3x解：方程可写成D2y+4y=sin3x,即(D?+4)y=sin3x可见F(D)=(D2+4),f(x)=sin3x,此处F(D)表达式是一个完全关于D
8、1的式子,也就是说表达式中只有D的偶次幕项,没有奇次幕项,具体说就是这里只有出,没有D或者/等等,计算时按公式将其中的M代换掉由F(D)y=sin3x,根据相应公式求解冇：胡f(x)=召叫把D2换成"，即-才sin3x_sin3x-32+4-r~例3、y"+10y"+9y=cos(2x+3)解：方程可写成：D4y+1OD2y+9y=cos(2x+3),即(D4+10D2+9)y=cos(2x+3)可见F(D)=(D4+10D2+9),f(x)=cos(2x+3)根据相应公式求解有::胡f(x)=一:!―；cos(2x+3)=——；!—；cos(2x+3
9、)D4+10D2+9(D2+l)(D2+9)把D?换成_22cos(2x+3)cos(2x+3
