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《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-4教学案第一章15152球坐标系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.5.2球坐标系抽象问題情境化.新知无师自通［对应学生用书P16］1•球坐标系设空间中一点M的直角坐标为（x,y,z）,点M在xOy坐标面上的投影点为M（）,连接OM和OM（）,设z轴的正向与向量亘
2、的夹角为卩，x轴的正向与［^（）的夹角为&,M点到原点O的距离为尸，则由三个数尸，0,卩构成的有序数组匕0,°）称为空间中点M的球坐标.在球坐标中限定r^O,0W0v2tc,2.直角坐标与球坐标的转化空间点M的直角坐标（x,y,z）与球坐标（厂，申,◎之间的变换关系为$y=^sin©sin0,&=/”cos0［小问龜•共思備］球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐
3、标中的第二个坐标〃就是该点在X0平面上投影点的极坐标中的第二个坐标&把握高频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P16］
4、将球坐标化为直角坐标（4兀5兀、［例1］己知点M的球坐标为（5,y,-yj,求它的直角坐标.［思路点拨］本题考查球坐标与直角坐标的变换关系.解答本题需要先搞清球坐标（5,y,剤中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可.［精解详析］TM的球坐标为（5,y,罟），x=rsinycos3,由变换公式S^=rsinysin0,.z=rcos(p,(「.5兀4兀5x=5siir了cos丁=一孑」_.5兀.4兀5羽倚、y=5sinN~siiry=_—「5tt5^3z=
5、5cos石=_2故它的直角坐标为弓，一卡p,—弓〃亠规彳IL总纟匕已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是卩,哪个角是6.（兀3兀1.已知点P的球坐标为（4,才，勺，求它的直角坐标.解：由变换公式得x=rsin^cos&=4sin普cos扌=2,^=7^sinysin&=4sin弓sin・••它的直角坐标为（2,2,一2迈）.将直角坐标化为球坐标［例2］设点M的直角坐标为（1,1,迈），求它的球坐标.［思路点拨］本题考查直角坐标与球坐标的变换关系.解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意&与卩的取值范围.［精解详析］由坐标变换公式，可得r=jx
6、2+y2+z2=^/12+12+(-/2)2=2.由rcos0=z=迈，仲_返_返Hcos(p~厂_2，爭_牛又tan0=十=1,&=*x>0,夕>0),所以知M点的球坐标为（2,%另.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为（尸，0,°）,再利rsin0cos0,求出厂0,y代入点的球坐标即可；也可以利用rsin/sinfhlz=rcos(py^=x2+y2+z2ftan^=^,cos°=2求解.特别注意由直角坐标求球坐标吋，&和XA*卩的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误.2.设点M的直角坐标为（乎，普,—求它的球坐标.解：由变换公式得由rcos(p=z
7、=-半得cos厂-¥，3710=才・又tan0=^=y[3(r>Q,尹>0),得0=y・・.M的球坐标为(1,乎)球坐标系的应用［例3］在赤道平面上，我们选取地球球心0为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有力，B两个城市，它们的球坐标分别为朋，务BR,y,扌.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程.［思路点拨］本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离.解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法.(TTTt［精解详析］如图所示，因为ar,&TT可知Z/OO
8、=ZOQB=&,2兀TlOAO=ZO]BO=才.又ZEOC=§ZEOD=¥，。…小…
9、2兀兀兀..ZCOD=—石=丁71・•・ZAOB=ZCODp.JT在RtZXOO"中，Z0)50=4，OB=R,OB=OA=71VAAOB=y:.AB=R,在△/OB中，AB=OB=OA=R,:.^AOB=^.TT故飞机沿经过B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为賈.一_观他；！纟比我们根据儿B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过儿B两地的大圆飞行时，飞行最快.求所飞行的路程实际上是要求我们求出过B两地的球面距离.“一变-式之』:L1.用两平行而去截球，如图，在两个截而圆上有两个点，它们的球坐标分别为彳8,%另，58,弘，y,求出这两个截面间的距离.71解：由已知，O4=
10、OB=8,ZBOO=・・・在厶AOOy中，00]=4迈.71在△〃如中，ZBOO2=N，°B=8,：.OO2=4y/2f则0^2=00^002=8^.即两个截面间的距离0
11、。2为8^2.课下训练经典化.贵在触类旁通[对应学生用书P18]一、选择题1•已知一个点P的球坐标为(2,普，另，点P在©平面上的投影点为",解析：选A・・・卩=3兀Tr71°-37[TT.•.O卩与OPo之间的夹角为2—=4.2•点M的球坐标为(尸，(p,0)(00G(O,TT)),则其关于点(
