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《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案：第二讲+三+圆的切线的性质及判定》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、圆的切线的性质及判定定理［对应学生用书P25］1.切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图，已知AB切O0于A点，则丄AB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.英中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的.［说明］在切线的判定定理中
2、要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线.［对应学生用书P25］圆的切线的性质［例1］如图，已知ZC=90。，点0在AC上，CD为OO的直径，切AB于E,若BC=5,AC=12.求G)0的半径.［思路点拨］(DO切AB于点E,由圆的切线的性质，易联想到连接0E构造RtAO/lE,再利用相似三角形的性质，求出OO的半径.［解］连接0E,9：AB与OO切于点E,・*.0E丄AB,即ZOEA=90°.VZC=90°,ARlA/lCB^RtAAEO,・oe=ao・.・BC=5,AC=1
3、2,.AB=13,.QE12-OE~13~'即G)O的半径为了.［方法■规律■小结］、利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.1.如图,切＜30于点B,延长A0交OO于点C,连接BC.若ZA=40°,则ZC=(A.20°D.50°C.40°解析：连接OB,因为AB切＜30于点B,所以OB丄AB,即90°,所以ZAOB=50。.又因为点C在AO的延长线上，且在OO上,所以ZC=*ZAOB=25
4、。.答案:B2.如图，已知MB是G»O的割线，AB为OO的直径.PC为G»O的切线，C为切点，BD丄PC于点D,交©O于点E,PA=AO=OB⑴求ZP的度数;⑵求DE的长.解：⑴连接OC.TC为切点，AOC丄PC,/POC为直角三角形.VOC=OA=lfPO=PA+AO=2f:.sin"=爲=*.・・・"=30。.(2)BD丄PD,・••在RtAPBD中，由ZP=30°,PB=PA+AO+OB=3f3得BD=g连接AE.则ZAEB=90。，:.AE//PD.:.ZE4B=ZP=30°,:.BE=ABsin30°=1,・•・DE=BD-BE=
5、*.圆的切线的判定［例2］已知£>是4ABC的边AC上的一点，AD:DC=2:1,ZC=45°,ZADB=60求证：43是△BCD的外接圆的切线.4［思路点拨］连接OB,OC,OD->ZBOD=9FZOBC=ZOCB=30o
6、-ZABO=9(T
7、_
8、结论.［证明］如图，连接OB,OC,OD,OD艾BC亍E.・・・ZDCB是®D所对的圆周角，ZBOD是艮D所对的圆心角，ZBCD=45°,・•・ZBOD=90。.•・・/ADB是△BCD的一个外角，・・・ZDBC=ZADB—ZACB=60°-45°=15°,・・・ZDOC=230°,从而ZBOC
9、=120°,•：OB=OC,・•・ZOBC=ZOCB=30。.在ZkOEC中，因为ZEOC=ZECO=30°,・•・OE=EC,在△BOE中，因为ZBOE=90°,ZEBO=30。.•••BE=2OE=2EC，•CE_CD_••亟_丽_刁:.AB//OD,・・・ZABO=90。,故AB是△BCD的外接圆的切线.［方法■规律■小结］要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线./////^淀漳制3.本例中，若将已知改为“Z
10、ABD=ZC”,怎样证明：是△BCD的外接圆的切线.证明：作直径BE,连接DE,•:BE是G»O的直径,•••ZBDE=90°,•IZ£+ZDBE=90°.VZC=ZE,ZABD=ZC,:.ZABD+ZDBE=90°.即ZABE=90°.:.AB是△BCD的外接圆的切线.4•如图，ZBC内接于0O,点D在OC的延长线上,30°.(1)求证：AD是OO的切线•(2)若AC=6,求AD的长.解：(1)证明：如图，连接OA,Tsin3=*,・・・ZB=30。,VZAOC=2ZB,Z.ZAOC=60°,TZD=30°,•••ZOAD=180°-ZD—
11、ZAOC=90°,:.AD是OO的切线•(2)TOA=OC,ZA(9C=60°,•••△AOC是等边三角形，：.OA=AC=6tVZOAD=90°,ZD=30°,:
