博士数学论坛原创高代部分总结(初稿).pdf

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1、高代总结禹帆1高代总结一.标准型方法:变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然看命题里的量是否在该种变换下不变，即找变换下的不变量。其方法分两步,先对标准型验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。例子：（1）矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩=不为零子式的最高阶数。（先证相抵Ir0标准型成立，再用初等变换过渡）00（2）正定矩阵有正定的平方根矩阵。（先看对角矩阵，再用正交相似变换过渡）（3）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解。（即矩阵的满秩分解）（先分Ir0解相抵标准型，再用初等变换过

2、渡）00（4）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。（它在相似变换下的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵。所以先单独证明这个命题，再用相似变换过渡到一般情形）二不变量方法变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相似、不合同,以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。相抵的完全不变量是秩，相似的完全不变量是初等因子，不变因子，行列式因子。相似不变量有：行列式秩③迹④特征多项式和特征值⑤交结数例如：1）行列式等于特征值乘积；2）线性方程组有解等价于两个秩相等。总的

3、来说是一句话，尽量把命题、事实用不变量来描述。(注:其实标准型方法和不变量方法不可分，总是要把一个命题和一种变换联系起来。所以着眼于变换类型，有几句：１，如果条件结论只有乘法和秩条件，肯定是初等变换理论，可以考虑初等变换法。２，如果条件中有多项式（没有对称、反对称），可以用相似变换化简为对角型或Jordan标准型。３，如果又有对称矩阵，又有多项式，只能用正交相似变换。４，对于可交换问题，可以用相似变换或者正交相似变换。５，对于对称矩阵，如果结论是正负定或者行列式大于小于0，考虑用合同变换。６，如果一个公式等式两边没有逆矩阵，也没有行列式在分母上，则可以考虑扰动方法，先

4、对可逆矩阵情形证明，再取极限到不可逆矩阵。)2三矩阵语言中的六大基本方法矩阵分块的方法初等变换的方法③降阶和升价的方法④运用标准单位向量的方法⑤运用特征值的方法⑥运用矩阵标准型的方法核心的思想方法是降阶（打洞！！！）降阶的基本思想很简单，即把高阶矩阵问题通过打洞等技巧化为低阶矩阵问题。实现这一思想的步骤，是将原矩阵A用若干初等变换化为分块上（下）三角阵：A1A2A10或0AAA332分块对角矩阵Adiag{A,A,...,A}，A没有公共的特征值，则与A交换的矩阵B也12si必然也是分块对角矩阵。换言之，当把A按特征值分块的时候

5、与A交换的矩阵B也就同时被分块了。分块对角矩阵Adiag{A,A,...,A}可逆它的主对角线上的每个子矩阵A都可逆，12si1111且逆矩阵Adiag{A,A,...,A}。12s分块对角矩阵Adiag{A,A,...,A}的特征多项式等于它的主对角线上的子矩阵A的12si特征多项式的乘积。④分块对角矩阵Adiag{A,A,...,A}的最小多项式等于它的主对角线上的子矩阵A的12si特征多项式的最小公倍数。⑤分块对角矩阵Adiag{A,A,...,A}有Jordan型每个子矩阵A都有Jordan型且12si它们合起来就是A的Jordan型

6、AC1111AC*BA*A*CB*AACB⑥1⑦*0B0B0B0AB3四：线性映射语言的六大基本方法运用线性同构的方法运用线性包（降阶）③运用线性变换（线性映射）的各种特殊子空间的方法④运用正交化的方法⑤运用空间分解为子空间的直和，特别是分解为某个线性变换的不变子空间的直和的方法（标准型）⑥适当选基底（在内积空间中，则是选取正交基的方法）4五：矩阵语言与线性映射语言的相互转化原理：设V和V分别是是域F上n，s维线性空间，则V到V的线性映射Д与它在V的一个基和V的一个基下的矩阵A的对应是

7、线性空间Hom(V,V)到M(F)的一个代数同构，即Hom(V,V)M(F)snsn矩阵语言转化为线性映射语言：直接把矩阵看成线性变换或者是对称双线性函数的度量矩阵(如果是对称矩阵），然后用这种对象的理论处理，或者重新选基底来得到等价于原命题的不同的形式。举例如下：若A，B是实对称矩阵，且A是正定，则AB的特征值全是实数把A看做内积，B看成双线性函数，使用一个表示定理：欧式空间上对称双线性函数f可以唯一一个线性变换T,满足：f（x，y)=(Tx,y)(等号右边表示内积）线性映射语言转化为矩阵语言：对于一个线性变换，适当选基底。在教材中求