2015湖南娄底市中考数学试卷

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2015年娄底市中考数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.（2015娄底市,1,3分）2015的倒数为（）A.-2015B.2015C.——D.」一20152015【答案】D【解析】解：2015的倒数是丄.20152.（2015娄底市，2,3分）若la・ll二a・l,则a的取值范围是（）A.aMlB.aWlC.aVlD.a>l【答案】A【解析】由绝对值的性质可知：a・lM0,解得：a$l・3丄（2015娄底市，3,3分）下列运算正确的是（）A.rz6=a2B.5a2—2a2=2aC.（/）=a9D.（6Z—/?）"=a2—b2【答案】C【解析】解：a6^a3=a6~3=a3,故A错误；5a2-2a2=（5-2）a2=3a2,故B错误=673x3=a9,故C,正确；（a-b）2=02+20/7+，,故D错误・4.（2015娄底市，4,3分）x-l<（）一元一次不等式组1的解集在数轴上表示出来，正确的是（）1+—xf02 -2-1012-4■■i■-2-1012B-2-1012C0_■>—4——-2-1012D【答案】B【解析】解不等式①得：xWl,解不等式②得：x>-2・••不等式的解集为・2VxWl5.（2015娄底市，5,3分）下列命题中错误的是（）A.平行四边形的对角线相互平分B.菱形的对角线相互垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等【答案】C【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，两条直线不平行，同旁内角不相等。故选;C。6-（2015娄底市，6,3分）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：年龄（岁）13141516队员（人）2364这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（）A.14,15B.14,14.5C.15,15D.15,14【答案】C【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为:13,13,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,则众数为：15,中位数为：15.故答案为：C.7.（2015娄底市，7,3分）已知a2+2a=l,则代数式2a2+4a-l的值为（）A.OB.lC.-lD.-2【解析】 解：2a2+4a-l=2（a2+2a）-1=2X1-1=1.8.（2015省市，8,3分）如图1,正三棱柱的主视图为（）图1主视方向DvABCD【答案】B【解析】解：可看到两个侧面，中间的棱能够被看到，应该用实现表示.9.（2015娄底市，9,3分）2反比例函数y=—的图象上有两点Pj（xpyd，p2（x2,y2）,若Xiy2>0Dy1>0>y2【答案】D【解析】解：k=-2<0,函数图象位于二、四象限，VX10,点P2（X2，y2）位于第四象限丫2<0，故yi>0>y21（）.（2015娄底市，10,3分）如图2,挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气的阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t⑸的函数图象大致 是（） 二13二一lah-nlH.^图2ACD【答案】A【解析】解：当铁块完全浸没在水中时，拉力不变，当铁块部分露出水面的过程中，拉力不断增大，当铁块完全露出水面后，拉力不变.二、填空题（本人题共8小题，每小题3分，满分24分.）11・（2015娄底市，11,3分）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为10・8万千米，10.8万用科学记数法表示为o【答案】1.08X105【解析】科学记数法就是将一个数字表示成（aX10的n次幕的形式），其中1WlalVl（）,n表示整数.n为整数位数减1,即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以1（）的n次幕.解：10.8=108000=1.08X10512.（2015娄底市，12,3分）从・1,0,a/2,0.3,n,1,这六个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为3 【解析】2|解：共有六个数字，无理数有2个：所以抽到无理数的概率p（无理数）=-=-13-（2015娄底市，13,3分）已知AB=BC,要使△ABD9ACBD,还需要加一个条件，你添加的条件是•（只需写一个，不添加辅助线）【答案】AD=CD或ZABD二,CBD【解析】解：AABD和ACBD中，AB=BC,BD=BD,根据全等三角形的判定定理可知AD=CD或ZABD=ZCBD时，两三角形全等.14・（2015娄底市，14,分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是。【答案】mWl・【解析】解：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则△$（）,即：22-4X1•m^O,解得：mWl・15・（2015娄底市，15,3分）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为o第一行：1第二行：23第三行：456第四行：78910【答案】22【解析】解：第一行第一个：1第二行第一个：1+1=2第三行第一个：1+1+2=4第四行第一个：1+1+2+3=7 ・・・第7行第一个：1+1+2+3+4+5+6=2216-（2015娄底市,16,3分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为o【答案】6【解析】解：设这个多边形的边数为n,根据题意得：（n-2）X180°=360。X2解得n=6.17・（2015娄底市，17,3分）如图，在Oo中，AB为直径，CD为弦，已知ZACD=40°,贝ijZBAD=度.【答案】50【解析】解：TAB为直径，・•・ZADB=90°VZABD=ZACD=40°AZBAD=180°-90°-40°=50°1&（2015娄底市，18,3分）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0,1）,直角顶点C的坐标为（・3,0）,ZB=30°,则点B的坐标为o【答案】 （-V30,1+V10）【解析】 AX解：过点B作BD丄y轴，垂足为D・在RtAAOC中，由勾股定理得：AC=a/0A2+0C2=a/12+32=VlO,在RtAABC中，ZB=30°.•.AB=2AC=2V10JZCAO=ZCAB=60°/.ZBAD=60°・•・ZABD=30°在RtAABD中，ZABD=30°AI)=丄AB—>/102・・・BD=a/30所以点B的坐标为(-V30,1+Vio)三、解答题(本人题共2小题，满分12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(2015娄底市，19,6分)计算：(VL1・414)°+(-)-l-V3+2cos30°3【答案】4【解析】解：原式=1+3-y/3+/3=4・20.(2015娄底市，20,6分)y—2X+11先化简，再求值：g-^~-——+——，其中X是・1,0,1,2中选取的一个合适的JT一1JT一4兀+4兀一1数.【答案】_丄~2【解析】解：原式原式二一口一以+[+丄(x-l)(x+l)(x-2)2X-1 (x—l)(x—2)兀一11x-21(x-l)(x-2)(x-l)(x-2)x-1(x-l)(x-2)1=^2•••分式的分母不为0,所以xH・l,xH2,xHl,所以x=0•I原式=—-—=——0-2221-（2015娄底市，22,8分）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，先将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D四等（A等：90WmW100,B等：80WmV90,C等：60Wm<80,D等：m<60）,并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？（2）将图乙种条形统计图补充完整；（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数.甲人数等级【答案】（1）200；（2）见试题解析;(3)50人。【解析】解：(1)1004-50%=200人(2)200-100-40-10=50人. 人数等级(3)10004-200X10=50人.22・(2015娄底市，22,8分)为了安全，请勿超速。如图一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B形式了5秒钟，已知ZCAN=45°,ZCBN=60°,BC=200米，此车超速了吗？请说明理由。(参考数据：V2«1.41,V3-1.73)【答案】没超速.【解析】解：过点C作CD丄MN,垂足为D。VCD丄MN,ZDBC=60°・•・ZBCD=30°ABD=-BC=-X200=10022由特殊锐角三角函数得：DC=l()oV3^100X1.73=173米VCD丄MN,ZCAD=45°AZDCA=ZDAC=45°・・・AD二DC=173米AB=173-100=73米734-5=14.6米/秒260千米/小时=16—米/秒314.6米/秒V16—米/秒 3故此车没有超速.c23・(2015娄底市，23,9分)假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0〜1.5千米，超过1・5千米的部分按每千米另收费.小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米”，付车费10・5元”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米”，付车费14.5元.问：(1)出租车的起步价是多少元？超过1・5千米后每千米收费多少元？(2)小张乘出租车从市政府到娄底南站(高铁站)走了5・5千米，应付车费多少元？【答案】(1)4.5；12.5.⑵12.5元【解析】解：(1)(14.5-10.5)4-(6.545)=2元/千米，起步价=10.5-2X(4.5-1.5)=10.5-6=4.5元.(2)4.5+2X(5.5-1.5)=4.5+8=12.5元.24-(2015娄底市，24,9分)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以点A为圆心，AC为半径，作OA,交AB于点D,交CA的延长线与点E,过点E作AB的平行线EF交OA于点F,连接AF、BF、DF.⑴求证：AABC^AABF;⑵当ZCAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.【答案】(1)略；(2)ZCAB=60°・【解析】解：VEF//AD・・ZE=ZCAB,ZEFA=ZFAD・・AE=AF ・•・ZE=ZAFE Z.ZCAB=ZFAD在AABC和ZABF中；AF=AC,ZCAB=ZFAD,AB=AB/.AABC^AABF(2)当ZCAB=60°•时，四边形ADFE为菱形.证明：・.・ZCAB=60°,AF=AE•••△AEF为等边三角形AEF=AE又VAE=AD・・・EF=AD又・.・EF〃AD・・・四边形ADFE为平行四边形VAE=AD・・・四边形ADFE为菱形.25.(2015娄底市，25,10分)如图，P为正方形ABCD的边BC±一动点(P与B、C不重合)，连接AP,过点B作BQ丄AP交CD于点Q,将ZBQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC',延长QC'交BA的延长线于点M・(1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的长；(3)当BP二m,PC=n时，求AM・DQCMAB【答案】(1)AP=BQ(2)QM=3・25n2(3)AM=—2m【解析】解：AP=BQ,理由：•・•四边形ABCD为正方形，AAB=BC,ZABC=ZC=90°TAP丄QB,ZC=90°・・・ZAPB二ZCQB在RtABCQ和RtZABP中：AB=BC,ZABC=ZC,ZAPB=ZCQBARtABCQ^RtAABP ・・・AP=BQ・(1)由(1)可知：QC=PB,VAB=3,PB=2PC・・・QC=2由折叠的性质可知：QC'=2,ZCQB=ZC,QB,CB=CrB=3・.・DC〃ABAZMBQ=ZCQB・・・ZC'QB二ZMBQ・・・MQ=MB设AM=x,则QM=3+x,MC‘=l+x在RtABMC7中，由勾股定理得：(1+x)2+32=(3+x)2解得x=0.25・・・QM=3・25(2)VBP=m,PC=n设AM=x,贝0BM=(m+n)+x,MCZ=n+x,C'B=m+n在RtABMC7中，由勾股定理得：(n+x)2+(m+n)2=(m+n+x)2n2解得：x=—2m/.AM=—・2m26・(2015娄底市，26,10分)如图，抛物线y=ax2+bx--经过点A(l,0)和点B(5,0),与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式；(2)以点A为圆心，作与直线BC相切的OA,求OA的半径；(3)在直线BC±方的抛物线上任取一点P,连接PB、PC,请问：APBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.y【答案】(1)y=-—x2+2x-—33⑵迹5 ⑶/P的面积考；点P的坐标为弓”【解析】a+b—=0解：(1)将点A和点B的坐标代入函数的解析式得：325^+5/?--=031(1———解得:3b=2所以抛物线得解析式为：y=--x2+2x~-33(2)作AD丄BC,垂足为D.将x=0代入抛物线的解析式得：y=--AAABC的面积二丄AB^)C=-X4X-=—2233在RtAOBC中，BC=y]OB2+OC2=J52+(-)2=V33△ABC的面积冷響XAD斗所以OA的半径为一^――.⑶过点P作EF〃BC,EF交y轴于点E,当EF与抛物线相切时，ABCP的面积最大.设直线BC的解析式为y=kx+b(kHO)将点B和点C的坐标代入得：¥=一亍5k+b=O 解得：k=-3设直线EF的解析式为y=-x+c,将y=」＞x+c,代入y=-—x2+2兀一丄得；—x+c=-—x2+2x-—33333整理得：-x2--x+c+-=0333・・•直线EF与抛物线相切・・・△=()即：25-4(3c+5)=0解得：c=—12・・・直线EF的解析式为y=-x+—312.1512小5…一x+—=—x+2x—31233解得：x=-2将x二丄代入y=-x+—y=—23124所以点P的坐标为(丄，丄)24作EG丄CB,则・・・AG晋MBCP的面积十5V105V10125/—_38"24CG