资源描述：
《2007-2009理科椭圆试题汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、（2007•全国1•理21）（本小题满分12分）己知椭圆y+^-=l的左、右焦点分别为斥，耳.过存的直线交椭圆于B，D两点，过坊的直线交椭圆于4,C两点，且AC丄BD,垂足为P.（I）设P点的坐标为（兀°,旳），证明：卫+如＜1；32（II）求四边形ABCD的面积的最小值.证明：（I）椭圆的半焦距c=a/3^2=1,由AC丄BD知点P在以线段F{F2为直径的圆上，故总+y：=1，所以，兰+疋£垃+疋=丄＜1.32222（II）（i）当3D的斜率k存在且k工0时，的方程为y=k（x+），代入椭圆方程2—1,并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3/-6=
2、0.3设3（勺yj,D（天2,%），则6k23k2-63/+23Z/+2召+£=；一-，兀丿2=—因为4C与BC相交于点P,且AC的斜率为-一,kI川边形ABCD的面积当疋=1时，上式取等号.（ii）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积5=4.96综上，四边形ABCD的面积的最小值为一.25（2007.重庆.理22）（本小题满分12分，其中（I）小问4分，（II）小问8分）如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3,0）,右准线/的方程为：x=U.（I）求椭圆的方程；（II）在椭圆上任取三个不同点片、P,Py使乙P'FP?=ZPqFP?
3、=ZP^FR,证明:+为卅值’并求此疋值•解：（I）设椭圆方程为二+二=1./b2因焦点为尸（3,0）,故半焦距c=3.又右2准线/的方程为x=—,从而由已知C=12,0，=36,c因此a=6,b=yla2—c2—V27=3^/3.22故所求椭圆方程为—+^-=1.3627（II）记椭圆的右顶点为A,并设ZAF/?=^（z=1,2,3）＞不失一般性，假设八2/r「2/r4兀0<(7.<——，Jia.=a}+——=a}+——13213313又设出在/上的射彫为Q「因椭圆的离心率^=-=丄,a2阳非0“（牛5旳…小抄-冋…,）（心®）・121解得而芍性叱）（
4、—23）.因此—^—^—^—+—^—=-[3+-^^+cos©+—)+cos(a,+—))],FF{\FF\FI}9233cosa.+costol+2)+c。呦+也)之。旳-loos.,-^cosa.-Icosa.+2os分0,113131212121211112故—^+―^+―为定值.丨作
5、FP2\FP,3答案：V2-1则以A，B为焦点，且过C,D两点的椭圆的离2007.广东.理18）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二彖限，半径为2血的圆C与直线y=x相92切于坐标原点O.椭圆二+二=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距
6、离之和为10.a"9（1）求圆C的方程.（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点0使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求岀点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：⑴设圆C的圆心为（加/）m=-n.解得m-nm=-2n-2所求的圆的方程为(x+2)2+(y—2)2=8X2y2椭圆的方程为一+丄=1,右焦点为F（4,0）.259f（x+2）2+（y-2）2=8412设存在点0（x,y）wC满足条件，则；[解得2（-,—）[（x-4）2+/=1655412故存在符合要求的点2（-,—）.（2007.江苏.理15）在平面直角坐标系xOy+，已知MBC
7、顶点4（-4,0）和C（4,0）,顶点门亠！兀2y2‘sinA+sinCB在椭圆一+—=1±,则=5/42516sinB（2007.宁夏、海南.理19）（本小题满分12分）1在平而直角坐标系xOy中,经过点（0,72）且斜率为k的直线/与椭圆—+/=1有两个不同的交点P和Q.（I）求k的取值范围；（II）设椭圆与兀轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求R值；如果不存在，请说明理由.解：（I）由已知条件，直线/的方稈为y=kx+j2,2代入椭圆方程得M+（也+血）2=1.2整理得一+疋x2+2y[2k
8、x+=o①（2丿（1直线/与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=8/—4—+疋=4疋—2>0,mk<-—^k>—.即鸟的取值范围为
9、.12I2）[2）（II）设P（X[,刃），0（兀2，歹2），则OP+O0=（X]+兀2，丁1+丁2），由方程①，円+坨=.②〜1十2/=（1+疋）（兀2_旺）2=（1+£2）36k%2（3疋+1）212（/7?2-l）3/+1而A(近0),B(O,1),AB=(-72,1)・所以OP+OQ与AB共线等价于舛+召=-V2(y,+力)，将②③代入上式，解得k=—・2由(I)^k<-—^k>—,故没有符合题意的常数k.12(
10、2007.陕西.理21)(本小题满分14分)已知椭圆C:^+.=l(a>b>0)
