05函数的性质复习-2019年高考数学考点讲解（一）

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1、一.重难点梳理1:函数单调性的概念:在理解函数单调性的定义时，要注意：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区I'可上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的X】、X2有以下几个特征：一是任意性，即任意取xi,X2,“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定xKx・2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(xj〈f(x2)oX1X2).(4)并不是所有

2、函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区I'可上不存在单调性.2：单调性的证明方法：证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：①设元：设xi、X2WD且x

3、利用定义严格判断.(2).图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.(3)・用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增+增=增”，“减+减=减”，“增_减=增”，“减_增=减”.4.求函数y=f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则y=f(g(x))为增函数；若一增一减，则y=f(g(x))为减函数(同“增”异“减”).5：单调区间：函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但

4、若端点处没有定义，必须用开区间.一个函数！11现两个或者两个以上单调区间吋，不能用“U”而应该用“和”来表不.6.判定函数的奇偶性注意点：判定函数的奇偶性需要注意：①定义域必须关于原点对称。所以先判定函数定义域是否关于原点对称：②再利用定义判定，③利用函数奇偶性定义的等价形式灵活判定，BP：/(x)±/(—兀)=0或』「<也二±1(/(兀)北0).④图彖法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。也可以利用性质判断，如：在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，

5、积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.7.利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，即将自变量x设在未知区间上；(2)化，即将X转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式。另外，①若奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)=0.利用奇偶性求对称区间的函数解析式.②若为偶函数，则有f(—x)=f(x)=f(

6、x

7、)=f(-

8、x

9、)巧用这一重要性质，可避免一些复杂运算，简化解题过程。6.函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，函数的单调性是定义域内的局部性质，可根据函数的奇偶性判断对称区间的单调性.单调性、奇偶性经常在同

10、一个问题中出现，其单调性要注意对称区间的变化.7.有关函数图象的对称性的几个命题(一)函数图彖本身的对称性(自身对称)1、函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T为常数)的充要条件是y=f(x)的图象关于x=T直线对称。推论：函数y=f(x)的图彖关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x).2、函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)(T为常数)的充要条件是y=f(x)的图象关于直线x=T对称。3、函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b~x)的充要条件是y=f(x)图象关于直线“⑺+艸-切二凹对称。24^函数y=f(x)的图象关于点A(

11、a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b.推论：函数y=f(x)的图象关于原点0对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0.5、(1)若函数y=f(x)图象同吋关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(GHb),则y=f(x)是周期函数，且2

12、a-b

13、是其一个周期。(2)若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称〈a主b),则y=f(x)是周期函数，且2

14、a-b

15、是其一个周期。(3)若函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(aMb),则y=f(x)是周期函数，且4

16、a-b

17、是其一个周期

18、。(二)两个不同函数对称性的探究函数y=f(x)与y=2b—f(2a—x)的图彖