公路防噪板的隔音效果的计算机仿真实验

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I翁磊覆挪囔尘邃硕士学位论文姓名：刘恋秋导师：唐红专业：计算机应用技术 类号TP391．9密级公开重庆邮电大学硕士学位论文论文题目公路防噪板的隔音效果的计算机仿真实验英文题目ComputerSimulationExperimentoftestingtheinsulativeeffectofnoiseproofboardbesideroad硕士研究生到恋熬指导教师麈丝煎撞学科专业盐箕．扭应囝技本论文提交日期2QQ2：§：2Q论文答辩日期2QQ2=6=2论文评阅人墼兰垡錾援重废鲤鲍左盏量正逑数攫重庭兰壶羞星答辩委员会主席廖晓峰教授重庆大学2007年5月20日 摘要噪声污染作为当代四大污染之一，随着城市化的扩大而成为困扰人们生活的难题。设置防噪板是解决公路噪声污染的主要途径，因此，如何经济有效的检测防噪板隔音效果已成为研究热门话题。本文用计算机仿真的方式研究隔音板的减噪效果。本文通过应用有限差分方法对声波方程离散化，得到声波传播的数学理论模型，根据此理论得出一种计算机模拟声波在不同介质中传播的算法，该算法通过计算机实现能得出在不同模型条件下模拟声传播的方法。基于此方法在VC平台下开发出公路隔音仿真系统，该系统能通过计算机仿真模拟声波在不同介质间的传播状况。通过该系统在指定监听时间和监听点的绘图，能清晰地表明不同隔音材料以及不同隔音结构的隔音效果。本文最后结合现实的公路隔音情况建立相应的公路隔音仿真模型，并通过不同的计算方案得出双车道环境下，不同隔音材料以及不同隔音结构的效果检测结果。通过对结果的分析，得出防噪板隔音效果的鉴定结论，同时验证了公路隔音仿真系统的可行性。最终，该论文的成果能应用于检测公路旁隔音墙的隔音效果。关键字：噪声污染，声音传播，计算机仿真，隔音板，有限差分 重庆邮电大学硕士论文A0stractAsoneofthefourpollutions，noisepollutionhasbecomeaconundrumwhichdisturbspeople’Snormallifeintheenlargedcity．Emplacingnoiseproofboardisabasicwaytosolvethenoisepollutionproblembesidetheroad．Asresult，howtotesttheinsulativeeffectofasoundinsulationboardinaeconomicalandvalidwayhasbecomeahotspotinstudy．Thispaperusescomputersimulationtostudytheinsulativeeffectofasoundjnsulationboard．Inthispaperweintroduceanequationmethod，usingfinitedifferencetodigitizeawaveequationforsounds，forthemathematicalmodelofsoundpropagation．Analgorithmisintroducedforthesimulationofsoundsignalspropagatingindifferentacousticmedia．Thenwecanusecomputertosimulatesoundpropagationind．ifferentmodelsbythisalgorithm．RoadinsulativesimulationsystemisachievedusingthisalgorithmonVCplatform．Thissystemcansimulatesoundpropagationindifferentacousticmediabyusingcomputer．Thissystemcandrawpicturesatappointedalisteningtimeandalisteningpoint，whichcanindicatethedifferentinsulativeeffectindifferentinsulativematerialanddifferentinsulativeconfigurationclearly．Atthefinalpartofthispaper，webuildsimulationmodelaccordingtoactualsoundinsulativeboardsituationbesideroad．Thenwedesigndifferentcalculationprojecttogetthetestresultofdifferentinsulativematerialanddifferentinsulativeconfigurationindoubledriveway．Byanalyzingtheseresult．wegettheeriticalconclusionofthesoundinsulativeboardeffect．Meanwhilewevalidatethefeasibilityofroadinsulativesimulationsystem．Inaword，theconclusionofthispapercanusetotestthesoundinsulativeboardeffectbesidetheroad．Keyword：noisepollution，soundpropagation，computersimulation，soundinsulationboard，finitedifferenceII 独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重鏖鲣鱼太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：赳恕禾久签字同期：2007年∥月‘日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解重庆邮鱼盍堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权重鏖邮电态堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：iIl恕狄跏签名：协亿、签字日期：)-007年‘月‘日签字日期：年月日 第一章绪论1．1问题提出随着人类科技的进步、城市化规模的扩大，现代交通向着更高速，更便利的方向发展。纵横交错的高速公路如蜘蛛网般铺于城市之中，为了方便大家出行，公路往往架设在居住区的旁边；因此车辆行驶的噪声会影响居住在公路旁的住户。另一方面，噪声污染现己成为世界性的问题，它与水污染、大气污染、固体废弃物污染一起构成当代四种主要污染。随着我国城市化进程的加快，噪声污染尤其是城市交通噪声污染也日趋严重。轻轨、车辆等声源产生的噪声对周围环境的影响因而变得十分突出，直接影响沿线地域居民的生活和工作1”。解决和控制噪声问题一般可从噪声源的控制、传播途径的控制和受声点的保护三方面考虑。对于噪声源和受声点确定的情况下，噪声传播途径的控制就显得尤为必要了。目前最经济、最有效的控制方法是在交通干道两侧架设声屏障一防噪挡板。但是它的防噪效果如何呢?不同的挡板结构及挡板材料对防噪效果的影响如何昵?目前，国内外对于公路隔音板检测的研究方法主要是实地测量的方法。声屏障实地测量L2J即在实地对其降噪效果进行测量，一般在隔音板的另一面安装可以测试声音强度的设备，通过检测噪声的下降幅度达到测试隔音板效果的目的。但是像这样在现场做的实验都无法避免外部条件的影响，如天气情况、空气湿度等，这些都会影响声波的传播速度，最终导致检测结果不准确，而且外部声源的干扰也是无法避免，并且周围建筑物会影响声屏障的实测效果。鉴于现场检测的种种弊端，使得城市道路防噪板的实测很难反映其真实效果。本文考虑一种模拟检测的方法，即用计算机模拟公路旁的声音传播的情况，这样将比上述常规检测方法更经济、更方便。1．2研究现状模拟检测方法首先要建立待测环境下的封闭声场，然后用数学方法模拟封闭声场中声传播情况。。封闭声场是工程实践中最具代表性的一类声 重庆邮电大学硕十论文场，封闭声场的理论研究对噪声控制技术中的封闭隔声罩声学设计、工作问、驾驶室和舱室的室内低噪声设计具有十分重要的指导作用。其中一个重要研究课题就是对较大尺寸封闭空间声脉冲响应特性的分析，这对一些声学要求较高的建筑，建筑声学设计、噪声控制是非常重要的【31。目前，模拟封闭声场的方法主要有：缩尺模型方法和计算机仿真模拟。1．2．1缩尺模型法‘4】长期以来，对于建筑的声学设计，最常用的方法是建造一个缩尺模型，用来研究声音在模型里的传播。缩尺模型是将原厅堂的尺度缩小n倍后，利用特定的声源，通过对声信号的拾取、分析、计算，来对所设计的观演建筑的实际音质进行分析与评估，主要可用于对厅堂的反射声的脉冲响应、混响特性、吸声及声场分布进行研究。在缩尺模型实验的基础上，可以全面了解所设计厅堂的实际音质效果。有无回声、颤动回声、声场分布不均匀、声聚焦等声缺陷。因此，调整原设计方案，消除这些声缺陷pJ。缩尺模型技术在国内外的研究与应用已有68年的历史，尽管该技术应用比较成熟，但是缩尺模型方法，无论从时间、经济以及技术上，都存在着无法避免的不足峥J。国内现阶段缩尺模型技术主要应用于厅堂音质设计、预测及评价方面。在预测厅堂的音质、声学合理性，有无声缺陷、实现可听化方面，缩尺模型技术已经有成功而广泛的应用。但在建筑隔声方面，缩尺模型应用的研究较少¨J。有用缩尺模型来测量楼板的撞击声特性的研究【sJo。1．2．2计算机仿真模拟法计算机仿真是在不破坏真实系统的情况下，结合环境条件进行研究、分析和实验的一种方法。它是基于模型，利用相似与养化的关系来间接研究事物的方法。计算机仿真的目的主要是通过对初步选择的各种总体方案进行比较，以选择合理的系统方案分析被控对象的主要部件和系统的动态性能，合理选算系统结构；确定系统的控制规律，选择合理的控制参数，并对系统进行优化；对初步设计的系统进行数学仿真，以检查系统性能指标是否满足要求，并进行修改。计算机仿真的优点主要是：研制周期短；具有良好的经济效益，投资少；可以用于预测和决策系统pJ。使用计算机仿真技术来研究声波的传播规律，预测空间内声学性质比2 第一章绪论传统方法快速经济。利用计算机对较大尺寸封闭空间的声场反应进行模拟是近些年发展起来的新技术及国内外研究的热点，它的基本原理是通过计算机模拟声波在空间内的传播过程，计算空间中各反射声到达接收位置的能量、延迟时间及方向等参数得出该空间的声场状况。目前常见的计算机模拟声传播的研究方法有几何声学方法和波动声学方法11UJ。①几何声学方法几何声学法是基于射线原理开发出来的，它假设声波如射线一样传播，声波的传播方向用声线来表示，而声波在同一时刻到达的这个球面称为波阵面。常见的几何声学法有声线跟踪法和虚声源法。声线跟踪法lJu认为声在空间中以声线的方式向四周传播。当声源同时向各个不同的方向辐射声线，假设声线在碰到墙壁之前沿直线传播，根据数字声线跟踪技术对每一根声线都进行跟踪，并在跟踪过程中，记录相关信息。声线与壁面在碰撞后，在碰撞点将做镜面反射或扩散反射，其方向由反射定律决定，然后声线沿着新的方向继续前进，在碰撞时考虑墙面吸声系数的影响，当声线能量低于某一预先设定的值时，就可以停止对该声线的跟踪。这一过程在声线穿过预先设定的计算面积或计数体积值时，它的能量和到达时间都被记录下来，如果需要还可以记录下方向。由此得出一个能量的时间分布，可以认为是一个短时间内平均脉冲响应llZl。声线跟踪法本质上是依据几何声学，无法说明干涉和衍射效应。虚声源法认为，声源在封闭空间的各个壁面的另一侧存在它的“像”，称为虚声源，虚声源又以同样的方式产生它的下一级虚源，以此类推。虚声源的能量取决于其级别以及其赖以产生的壁面的吸声系数。当获得全部虚声源的位置及能量后，就可以把声源对于接收点的贡献等效为这些虚声源的贡献之和。根据虚源法的基本思想，可以用计算机找出所有对接收点的声能有明显贡献的虚声源，然后求出各虚声源传给接收点的能量和相对于直达声的延时。与声线跟踪法相比，它能产生精确的能量脉冲响应，但这种方法只能模拟纯镜面反射，而不能模拟扩散反射的墙面。声线法与虚源法的基本原理虽都是几何声学，但在算法处理上又各有不同，这使得其各有适用的场合。尽管声线跟踪法、虚声源法是在20世纪90年代才提出，但国外对其应用己经比较成熟，己有的大型声场模拟软件(如比利时的RAYNOISE)。国内方面，主要集中于对声线法及虚声源法各自的特点的讨论，并指出声线法与虚声源法的结合的方法【J“。由于几何声学法过多3 重庆邮电大学硕十论文考虑声波的运动学特征而忽略了声波的动力学特征，所以此方法主要用于室内高频声场的模拟。②波动声学方法波动声学方法是通过求解具有一定边界条件的波动方程，得到衍射声场中各接收点的声压，进而达到模拟声传播的效果。波动声学方法中主要分为有限元法、边界元法、有限差分法等[14J【15】【161。有限元法1“1是将弹性连续体离散成为有限个单元的一种近似数值解法。由于离散后的单元与单元之间只通过节点相互连接，且离散后的单元数目和节点数目都是有限的，所以称这种方法为有限元法。将连续体离散成为有限个单元，并建立描述共性态的各种公式将连续体的离散化进行求解。有限元法适用于壁面的声学性质不是处处均匀，房间体形不规则等复杂声场情况。但该方法计算量大，而且低阶有限元法具有较弱的频散特性，常规的高阶有限元法又会出现伪波现象IJaJ。国内对有限元法的研究常用于求解复杂房间形状和复杂边界条件情况下室内声场的分布。边界元法【19儿20】【21】是继有限元法之后的一种新的数值方法，它是将描述弹性力学偏微分方程的边界值问题化为边界积分方程并吸收有限元法的离散化技术而发展起来的。由于边界元法需要在边界上进行离散，为了提高计算精度，要求边界单元尺寸小于1／5的波长，由此对于高频，边界单元数目很大，计算量也很大。边界元法还有一个缺陷就是外部边界积分公式在某些特征频率会出现非唯一解的问题。国外研究方面，Antes曾用边界元法计算了薄板形和楔形声屏障周围几种不同情况下的声场分布，声源为单一频率。K．M．和Q．Wang基于保角变换法计算了折射大气中声屏障的声学效果，计算结果表明在阻抗型地面上折射声速呈指数分布的大气声场与柱状阻抗表面声速均匀分布的单一介质声场是相同的|22J。目前国内对边界元法的研究比较成熟，成果也比较突出，在复杂结构的声场及无限域等方面应用比较广泛。有限差分法¨jJ¨4’是通过采用波动方程的微变公式，形成波动方程的差分格式，同时将声场的基本方程表示为递推方程组¨”，通过求解方程组得到声场中各网格点的声强值，这样它们即可给出各瞬间波场在计算区域各点处的传播规律12bJ，以达到模拟声传播的效果。有限差分法与有限元、边界法相比有简单、灵活等优点，但是该方法也存在稳定性和频散方面的问题，不过可以提出越来越多的差分格式以提高计算效率，同时采用优化的交错网格，并取高阶差分来近似微分方程来解决有限差分法稳定性和频散方面的问题1271。波动方程的有限差分方法对近远场及复杂边界都有广泛4 第一章绪论的适用性，能够准确地模拟波在各种介质及复杂结构地层中的传播规律12s]，也适用于声屏障中高频段插入损失的计算。在国内，有学者应用有限差分法研究了水声学中的有关问题【291，并提出了声学中用于时域有限差分法的一种高效吸收边界【301。在国外，已有学者将这一技术应用于室内声学问题的研究之中[31儿321。1．3本文研究内容本文的主要目的是检测防噪板的隔音效果，基于上述各种方法和国内外研究状况，本文采用的是缩尺模型和计算机仿真相结合的方法，即先建立缩小的空间模型，再把此模型应用计算机仿真方法得出结果。在计算机仿真方法方面，由于几何声学方法对声场的动力学特点描述误差大，无法反映波形特征及能量特点。而波动声学法同时描述了声场的运动学和动力学特征t331。它对声波的波动效应如声波的衍射和干涉现象、房间模态或共振效应更显著。而波动声学法中的有限元法和边界元法尽管在国内研究比较成熟，但是它们的计算求解较复杂。为了准确地模拟声场的能量变化及运动特性，本文采用波动方程的有限差分解法Ij4儿35J来形成模拟计算方案。本文在总结并分析有限差分法自身特点的基础上，采用了空间的四阶中心差分和时『自J的二阶中心差分方法形成声传播仿真的算法来实现公路旁声场的模拟。然后，开发了用于防噪板隔音检测的有限差分模拟程序。使仿真算法能够在普通个人计算机上实现对公路旁声场的模拟及防噪板隔音效果的检测。1．4文章结构文章的主要结构如下：第一章：绪论。问题的提出、外研究现状。第二章：声传播的基本理论。基本方程和相关理论。文章选题背景介绍以及声场仿真的国内介绍声传播的基本概念以及波动声学的第三章：数学模型的研究及建立。通过对波动方程差分公式的推导，5 重庆邮电大学硕士论文进而形成声场仿真的数字模型，为后面的声场仿真程序的建立提供理论基础。第四章：仿真模型的建立。通过对现实公路隔音模型的缩小化、参数化，建立用于程序仿真的实验模型，并为模型选取相应的仿真参数。第五章：声传播实现的算法研究及可视化仿真研究。通过第3章建立的数学理论模型建立声场仿真的算法并通过一个简单实例验证算法的正确性。同时结合仿真模型完成公路隔音仿真系统的编制。第六章：计算机仿真计算与结果分析。通过建立相应计算方案，把上述仿真模型放入公路隔音仿真系统计算，并分析计算结果。第七章：结论。6 第二章声传播的基本理论2．1波动声学的基本理论2．1．1声学基本概念嗣声波：声振动的传播，是指媒质质点的机械振动由近及远的传播。声波是一种机械波。波长：声波振动一次所传播的距离，用声波的速度除以声波的频率就可以计算出该频率声波的波长，声波的波长范围为17米至1．7厘米。波速：声波一秒钟在介质中传播的距离。频率：声音信号每秒钟变化或振动的次数，频率越高、振动就越快，声音的音调就越高。频率=波速／波长。声强：声波振动强弱程度的参量，在空间某点指定方向上，通过垂直于该方向单位面积的平均声通量，即声源在单位时间内向外辐射的总声能。声压：设体积元受声扰动后压强由po改变为Pl，则声扰动产生的逾量压强(简称逾fiX)P=P1．Po，就称为声压(单位：Pa)。声压一般是空间和时间的函数。声场：存在声压的空间称为声场。大于2倍波长的声场称为远场，小于2倍波长的声场称为近场，远场和近场的声场分布和声音传播规律存在很大的差异声线：声音的传播路线，声线图可以表现声音在空间传播情况及其分布情况，是反映空间声场变化的重要手段。在均匀静止的媒质中，声线一般可用自声源射出的直线代表，用这些线来表达声音的传播和反射等过程较为直观。声波吸收：声波在各种媒质中传播时，能量会由于不断地被介质吸收而逐渐减少。在空气中传播时，距离越远、温度越低、湿度越小、频率越高衰减越大，反之，衰减越小。信噪比：信号噪声比的简称，信号平均功率与噪声平均功率的比值，信噪比越高，系统本底噪声越小，较弱的细节声音信号就不容易被噪声所7 重庆邮电大学硕十论文淹没，设备的动态范围也会相应提高。音频：亦称声频，人耳的听音范围是20Hz～20KHz。低于20Hz叫次声波，高于20KHz的叫超声波。音频的频率范围定义为20赫兹至20千赫兹。瞬时声压：声场中某一瞬时的声压值称为瞬时声压。平面声波：声波仅沿x方向传播，而在yz平面上所有质点的振幅和相位均相同的情况，因这种声波的波阵面是平面，所以称为平面声波。2．1．2声学基本方程‘3_7】①运动学方程P+翌血图2．1声场体积元受力示意图假设密度P是常量，在x方向上应用牛顿第二定律，经过整理，可以得到以下方程：一罢(出抛却(姗奶宰al盘(2．1)即：一塑：p韭(2．2)ax’dt响应方程对Y方向和z方向也成立。利用矢量分析中引入的梯度概念，可以把三个方程合并成如下形式的运动方程：一即=P警(2．3)8 第二章声传播的基本理论②连续性方程对一维情况，如下图所示：X擎dx)dl图2．2一维连续性方程示意图盟dr：dg(2．4)．戚应用到三维情况，可以得到：挈=-poV；Ot③热力学方程(2．5)声波在理想媒质中传播时没有热交换，因此遵守绝热定律：p矿=E(其中E为常数)(2．6)由此求得：塑：丝塑魂风8t(2．7)④声学波动方程联立上述三个方程(2．3)，(2．5)，(2．7)，消去中间变量，可以得到声学基本方程：窘-v2V2p(2s，V为飚c=层=厮汜，，9 重庆邮电人学硕十论文2．2声传播问题的分析我们知道，当一个物体振动时，它的周围就产生声波。声波通常指空气媒质中的压强、应力、质点位移、质点速度等变化。声波在空气中传播时只发生压缩与膨胀，当声音在空气中传播时，空气分子就发生了振动。声波在自由空间传播如果它的波长比声源尺寸大得多时，声波就以球面波的形式均匀地向四面八方辐射，它没有方向性。当声源辐射的声波其波长比声源尺寸小得多的时候，这时声源辐射的声波就以略微发散的声束向j下前方传播。如果我们可以知道在媒质中的每个分子的振动情况，就完全可以模拟出整个空间的声音的传播过程。10 第二章数学模型的研究及建立第三章数学模型的研究及建立3．1数学公式的推导3．1．1二维波动方程的推导在各向同样连续介质中，有如下定律：勺=aoso一2／ue,j在流体中u=o，有如下形式：1{=Ae6u另一方面，牛顿运动微分方程为：乃．J=au；由(3．2)，知：z。=0i≠j且k=嘞=吃=20即压力没有方向场，不妨设为P，即：P=f42t"2t口有：．P=20求时间导数，有：P’=207=五叱将(3．4)和(3．6)代入(3．3)，有：只=pu；。可改为：吉只=吖求导：以=(纠=号c+如结合(3．8)和(3．11)得到：(3．1)(3．2)(3．3)(3．4)(3．5)(3．6)(3．7)(3．8)(3．9)(3．10)(3．11) 重庆邮电大学硕十论文P，一告吾。弓匕@㈤注意到在p=o的情况下，声速：归陋(3．13)归1／万¨。代入(3．12)，整理z⋯10：c，一吉一弓一71P=o(3．14)将(3．14)写成矢量形式：V2尸一吉即胛专窑Ot=o㈦㈣口V。。二维情况下(3．15)式可写成：TB2p+箕一!f塑望+挈翌1一三了02p：0(3．16)Ox2。Oy2pI出缸。砂砂Jv2c3t2⋯上式(3．16)即为二维波动方程得一般形式。我们考虑当介质均匀时，即密度p是均匀的，既有罢=罢=o。因此上式(3．16)可变形为二维波动方程的特殊形式：警+窘一专窑Ot=。@·，，舐2。加2v22。⋯⋯3．1．2差分公式的推导泰勒展开式为：。巾+J)=m)+／’(工)万+三1厂。(x)万2⋯·+去／”’(x)卅⋯(3．18)用一6替换(3．18)中的6得：／(x-a)叫小(-1)刑J+学州扎⋯+辱∥∽舯．(3．19)联立上述两个式子(3．18)和(3．19)求得：m+万)+巾一万)=2m)+／。(石)J2+西1／4’(x)万4+D(万4)(3．20)12 笙三童墼兰堡型堕笪茎垄堡兰由(3．20)"-7得／’【x)的一髟rj垃1以：／。(工)=嘉[饰+万)一2巾)+巾一J)]+o(∥)‘3埘’用26替换(3．20)中的6得：厂(x+2J)+，(z一2万)：2f(x)+4f。(x)J2+石16—4’(x)占4+0(86)(3．22)联立(3．20)和(3．22)式，求得，。(x)的四阶近似：州=*击m埘)+j4m叫一扣)+4／(脚)_(3．：3)去巾埘)I+D(叫同理，联立(3．18)和(j．19)式可b,⋯z—10：厂(z+万)一，(x一6)=2f7(x)占+了1厂”(z)万3+o(占5)(3．24)用26替换(3．24)中的6得：，(x+28)一厂(x一2万)：4f，(x)+i8厂”(石)万，+0(65)(3．25)联立(3．24)和(3．25)式，我们求得厂’(x)的四阶近似：八加吉B巾彩)+2／(x叫一号几叫一西1巾埘)]+。(J4)3．1．3波动方程的差分近似通过上面两节的推导，我们得NT--维波动方程以及差分近似公式，接下来我们要把上面两种结果结合起来，即对二维波动方程进行差分近似。首先我们列出3．1．1节得到的二维波动方程得特殊形式，即(3．17)式：窑Ox+窘专尝Ot=o@z，，2却2v22同样，我们列出3．I．2节得到的二阶差分近似(3．21)式和四阶差分近似(3．23)式：厂’(石)2嘉[m+J)一2／(工)+m一占)]+o(占4)限28’13 重庆邮电大学硕士论文，。(工)=嘉[：去，(工+2J)+詈厂(x+万)一主，(x)+詈厂(工一万)一。，．：9，击小彩)j+D(J4)对声波方程(3．27)中P(x，y，t)作关于t的二阶近似(3．28)得：鼍产=却m拂f+△)-2跑川州圳+△)】+D(△2)(3．30)对P(x，y，t)分别作关于X和Y的四阶近似(3．29)得下面两式：学=井扣彩拂吵导P(x+&y,t)-5卟出小@，。，詈P(x-6,y,t)一西1P(x-26,y,t)卜∽学2外击P(x,y+26,t)+3P(x,y+6,t)-5咖力+㈦，2，；尸(x,y-6,t)一击P(x,y-26,t)卜卯我们把关于P(x，y’t)的近似差分公式，即(3．30)、(3．31)(3．32)嘉协JP(x+8,y,t)州Ⅲ川州x,y+8,tM(x,y-8,t)]钟(圳)一击[P(x+26,y,tM(x-26,y,t)川x,y+26,tM(训彩，f)])+咿4)=去№，y，H妒2m，∥)+讹弘f+△)】+D(△2)同理对于二维声波方程的一般形式(3．16)：T02p+窑一三f望望+竺竺1一{—02Pi_：0(3．34)魂2砂2PL知Ox砂OyJv2Ot2对上述一般形式的声波方程(3．34)中参数p(x，y)分别作关于x和Y的四阶近似(3．26)得：TOp(x,y)2牡沪2町咖椰棚争t加㈦。，，西1p(x+26，_y)l+D(万4’ 第三章数学模型的研究及建立等丝2手眵扩2回如一国争旷矿@，。，西lp(w+2万)J+。(扩)对P(x，y，t)的一阶导数分别作关于x和Y的四阶近似(3．26)得下面两式：—OP(Fx,y,t)2牡”2训+扣例一弦啪卜@，，，西l尸”26，乃，){+口(万4’下aP(x,y,t)。牡c一2《～嵋脚以，，一@，。，壶P(w+2叫J+。(万4)同样把关于P和P的差分公式代入(3．34)并结合上述(3．30)、(3．31)和(3．32)式可得关T-二维声波方稃一船形式的公式。嘉{詈【Jp@+正只f)+P。一最只f)+投x,y+8,t)+以t，一最f)卜5P(五弘f)一壶[尸(x+2&y,tM(x-2a,y,t)州x,y+28,tM(x,y-2刎])+彬4)=古出p(x-28,yh(m珊)]+j2陬x+6,yh(州棚】)×{茸P(x-28,y,tM(x+28,y,t)圬2【P(x+8,y,t)叫州川】}+古{击[p(x,y-28h(x,y+28)圬2【p(x,y+6～(训讷】}×{奇尸(x,y-26,t)～JP(x,y+28,t)H2【P(x,y+6,tM(训屯，)】卜斋【m烘f+△)一2e(Ⅵ，f)+户o，y，f+△)卜D(△：)+2。。∥)+D(∥)x4其中0(84)×一里的A表示之和。曼旦!兰：12翌旦!兰：12旦蠡’钞’15(3．39)P(x，Y，，)aP(x，Y，，)缸’加 重庆邮电大学硕十论文3．2数学模型的建立及模型数字化3．2．1建立数学模型为了简化问题，我们假设声波是在平面传播的。那么在平面空间中某一点在t时刻的声音的压力就可以用三个参数的函数表示即P(x，y，t)，其中X和y表示某一点空气分子在参考坐标平面的位置(x，yEQ，Q代表一平面空间，tET，t为一时间集合)，该函数也称为目标函数。如果考虑一个有界的，并且边界是完全刚性的空间，则在边界处的分子振动为0，用数学符号表示为：P(0，y，t)=P(x，y，t)=P(x，0，t)=P(x，y，t)=O，其中x，y为边界。Q={x，y10≤x≤x；0≤y≤y}。同时，我们考虑Q空I'日J中介质均匀，即P为0。因此，根据3．1．1推导的二维空间中的声波方程(3．17)式可变为：可c82px,yj+争了1争=。(3．4。)其中X，yEQ，tET，匕．，为声音在(x，y)坐标点中的传播速度也称为参数模型，即声音在不同的媒质中有不同的传播速度。我们考虑在一个很短的时刻，某点空气分子发生了振动，用符号表示为：JD(工，y，f)=O,t<0t6(x-x。y—y。)万(A，≤△f其中占俐为脉冲函JD(工，y，’)5，．y一只)万(f)，，≤△f其中占f∥为脉冲函数，根据3．1．3的波动方程的近似差分公式，设6为空间中一个无穷小量，A为时间集合中一个无穷小量。忽略无穷小O(6)和O(A)，那么(3．30)，(3．31)和(3．32)式可变形为：竺拦：鱼：!二弩!±鱼生(3．41)Ot2A2(3．42)—a2prx．yd：』_lLp竺L4L竺』5≠L4芷_=j_!坐p(3．43)Oy2占216争 第三章数学模型的研究及建立l司理(3．33)式可变形为：％。=2吼。t¨。+等v2『，肥(‰"+％∥％矿％甜)一5％。一吉(最：副。+覃："．。+只小：”+c一：”)I(3．44)上式(3．44)表明了在k+△时刻的声压(只。。)可以由该声压点的附近时刻以及附近空间的声压通过计算而得到。因此，只要知道了媒质的传播速度和在某一时刻空间中所有空气分子的压强，就可以用递推法算出下一时刻所有分子的压强。同理，当Q空间中介质不均匀时，我们用二维空间中一般声波方程(3．16)式，它可变形为：争+争一古(誓盟Ox+等等]．专争=。@4s，氟2。砂2pI玉。咖却Jv，。．．2。磊广一””1“同时密度参数P(x，y)的近似差分公式(3．35)和(3．36)式可变形为：缸占121旦上竺：互竺：：：：!：三竺：：：!二三竺：：：!二亘竺：：兰砂子(3．46)(3．47)同样P(x，y，t)的一阶导数的近似差分公式(3．37)和(3．38)式可变形为：曼!!!：羔：尘：亘I!：：竺：三2兰：!：!；至2兰竺二亘1兰：：竺(3．48)ax艿⋯⋯掣：匹1_二二-L2掣2：：：：：_li2p竺：(3．49)oyd同理(3．39)式可变形为：17 重庆邮电大学硕士论文％“=2％_肛。+等州号(‰矿‰。+‰一铀．。)叫。。一扣耵一％¨一巳。一‰斗筹№。，氟，一弘，{‰小仁‰一弘2p,Ⅲ一乳，一去‰Ⅵ匆。+j2·局．，+，一；一．，．，一i互1日，，+：，]x(击，i，—：，，+_。2e，，，．，，。一j2p，,．，一，。一击置，+：，，)]3．2．2数学模型数字化及问题的数值解考虑如图所示的一个空间Q内，(3．50)卜———一X————一图3．1模型空间假设边界全部是刚性的，在某一t时刻，声源S发生了短促的声音。现在对整个空间用6函数进行离散化，即把连续的空间Q变为离散的可以由计算机处理的数据，同时把时间用△进行分割，得到：茎：M：一Y：N．T一￡J巧△其中M、N和L均为正整数，则连续空间域Q和时间域f分别被离散为有限点数的离散空间点集始和易：Q={f占，j8Jj=0，1，⋯，M；j=0，1，⋯。Ⅳ}F={魈Ik=0,1，--．，工}在这种分割之下，参数模型变为Vi，j--v(i6jq5)，目标函数变为Pi,j，k_P(i6J6，k△}其中i=0，1，．．．，M；j--0，l，．，N。模型数字化后，最小空间间隔6和最小时间间隔△均为1。同时我们假设模型空间的介质均匀。18丁jY』fI上 第三章数学模型的研究及建立因此，声压推导公式即为上述(3．44)式，它可变形为如下递推公式：乇n-哦·如-1+弘i2B(％¨+，咏一‰)_(3．5。)57,，J^一i1，＼p。2．』』+P．-2,j,k+P，，+2^+只，，一2^)l其中2≤i≤M一2；2--．