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1、論高等微積分的課程定位陳宜良2014.3.8高等微積分在台灣一直被定位為數學系的入門課，是理論性的微積分，後續許多課要用到的概念及專有名詞都在這門課中教授。在過去，高微擋修複變丶幾何，以及任何高階的分析課程，同時也影響到低階的微分方程與偏微分方程的學習。另外高微也是抽象思維與嚴謹證明訓練的關鍵課程，同時也訓練學生相對應的數學寫作。由於高微課程肩負這麼多功能，因此它的學分數最高，也是入門數學最重要的一門課。在台灣各大學通常都定位為數學系大二的必修課。而老師也常常透過這門課來判斷學生的數學天賦。然而這門課從來就是學習成效不彰的一門課。在過去一個班級被當的比例超過2/3是很平常
2、的事。學生主科成績不好時，除了挫折外，也無法轉系，常浪費寶貴的青春光陰，也造成學習風氣的低落與老師教學的挫折。今日被當的學生較少，但常常只是因為老師要求標準降低。許多學生到了研究所，基本的數學論述與証明能力都有問題，數學是在一知半解中糊糊塗塗的學，這對人的整體發展非常不好。而這些現象在美國的數學系並非常態，美國人要繳高學費，那能接受這麼高的不及格率或是低的學習成效。因此我們有需要研究美國大學數學課程的設計，重新定位高微課程，提升學生學習成效。國內高微教授的題材一般是以W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis，或是Marsd
3、en與Hoffman的Elementary Classical Analysis為教材。Rudin的內容為:1. Real and Complex Number Systems, 2. Basic Topology, 3. Numerical Sequences and Series, 4. Continuity, 5. Differentiation, 6. The Riemann‐Stieltjes Integral, 7. Sequences and Series of Functions, 8. Some Special Functions, 9. Functio
4、ns of Several Variables, 10. Integrations of DifferentialForms, 11. The Lebesgue Theory。Marsden&Hoffman的內容為: 1. Introduction: Sets and Functions, 2. The Real Line and Euclidean Spaces, 3. Topology of Euclidean Space, 4. Compact and Connected Sets, 5. Continuous Mappings, 6.Uniform Converg
5、ence, 7. Differentiable Mappings, 8. The Inverse and Implicit Function Theorems, 9. Integration, 10. Fubini’s Theorem and the Change of Variables Formula, 11. Fourier Analysis。這兩本書的核心內容是基礎的古典分析(Foundation of Classical Analysis)，在美國都是定位為數學系高年級學生的教科書。我上網查美國知名大學數學系的課程網站，以前述兩本書之題材為課程內容的多是命名為數
6、學分析，但確實也有一些學校命名為高等微積分，如U. of Maryland丶U. of Michigan 丶Rutgers University，但似乎較少。MIT的Advanced Calculus for Engineers的內容是基本的複變，以及偏微分方程等，較偏我們所謂的工程數學。NYU的博士資格考雖稱為Advanced Calculus，但其內容實為Courant and John的Introduction to Calculus and Analysis。而U. Maryland 與U of Michigan的Advanced Calculus的課號都是4字頭
7、，應都是4年級或至少是高階的課程。我條列一些學校的相關課程如下。在表格中，我亦列出課號。各校課號編碼不同，表示修業年級的代碼，有些學校是以課號的第一碼表示，愈大代表愈高年級或愈深，如Princeton, Cornell, Chicago, NYU, Maryland, Michigan, UBC等。另一類是以位數表示修課年級，如Harvard的Ma23為兩位數字，Ma215則為三位數字。二位數的課為二年級學，三位數的課則為三年級學。以位數表修課年級的學校有Harvard, Berkeley, UCLA, Caltech等。Ha
