现代手持教育技术支持下的数学实验探究

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1、2006年　第45卷　第10期数学通报55现代手持教育技术支持下的数学实验探究———圆锥曲线焦点弦的一种性质刘玉德　王建中(北京育才学校100050)　　信息技术影响了数学的研究方法.今天,数学的直线与过OF的直线平行.不断的改变P的位置实验已成为研究数学的重要方法.著名数学教育家(R仍在顶点),学生们发现,两直线始终保持平行.G·波利亚曾指出:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨的科学,从这个方面看数学象是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学,看起来却象一门实验性的归纳科学.”他还更具体地指出:“数

2、学的创造过程与任何其它知识的创造过程是一样的.在证明一个数学定理之前,你图1先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明该题所论及的是抛物线焦点弦的一个简明而之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的又特殊的性质,其证明过程也比较简单(证明从结果进行综合然后加以类比,你先得一次又一次的略).进行尝试.”这就是说,数学的发现与创造离不开深入探究:如果把这两条直线看作相交在无穷“实验与思辨”、“归纳与演绎”.因此数学教育,应该远S处,要求学生思考能发现什么?(各组学生们充将传统数学教学中的“思辨”和“演绎”与“实验”和分讨

3、论后得到了RS通过焦点F).“归纳”相结合.通过数学实验教学能使学生获得更加平衡、更加丰富的数学发现与创造的经验与能力,因此,研究现代教育技术支持下的数学实验教学具有重要的意义.下面介绍在研究性学习活动课上,我们怎样引导学生通过数学实验,探究圆锥曲线焦点弦的一种性质.图21　问题研究过程在实验过程中,一些学生还提出,如果过R,S根据学生基础和对TI图形计算器掌握情况分的直线不过抛物线的顶点时,上面的结论是否仍成成4个研究小组.立?就此问题我们引导学生继续作实验探究.1.1　创设情景　提出问题(实验2)任意的改变点R在抛物

4、线上(R不在高二人教版数学教材(下册)第123页的问题:抛物线顶点)的位置,过RP的直线交准线于M,作过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P,Q,通过过MQ的直线,交抛物线于S,这时,当学生们再作点P和抛物线顶点的直线交准线于M点,求证:直RS直线时,发现该直线还是过焦点F,当不断改变焦点弦PQ和R的位置,总有RS直线过焦点F这一线MQ平行于抛物线的对称轴.现象.1.2　实验与证明猜想1　过抛物线准线上一点,向该抛物线焦(实验1)要求学生用TI图形计算器作出抛物线点弦的两端点引直线,则过直线和抛物线的另两个的轨迹和准线后研

5、究问题.PQ是焦点弦,过PR的交点的直线,经过抛物线的焦点.直线(R与抛物线顶点O重合)交准线于M,过PM56数学通报2006年　第45卷　第10期为了验证上述猜想是否正确,我们引导各小组由抛物线的性质易知yS≠yQ,此时上式可整理成222的学生对它进行严格的数学证明.ySyQ-pyRyP-pySyQ-pyM=,由上可得,=,1.3　证明过程(向量法)yS+yQyR+yPyS+yQ2证明设抛物线方程为y2=2px,P点坐标为此式经化简可得yRyS=-p.(xP,yP),Q点坐标点(xQ,yQ),接下来,只需证明FR和FS

6、共线,其中22其中22yRpySpyP=2pxP,yQ=2pxQ,FR=-,yR,FS=-,yS,2p22p2证明略.1.4　问题的延拓我们知道,抛物线、椭圆、双曲线是在第二定义下统一的圆锥曲线,那么,抛物线的上述性质,能否推广到椭圆和双曲线呢?组织第1、2小组研究椭圆,第3、4小组研究双曲线.(实验3)作出椭圆与它的准线,PQ是焦点弦,图3当R在椭圆的顶点时,直线PQ交准线于点M,过y2y2MQ的直线交于椭圆的另一顶点S,那么有R,F1,SPQ即xP=2p,xQ=2p,三点共线.22yPpyQp则FP=-,yP,FQ=

7、-,yQ,2p22p2由FP和FQ共线可得22yPpyQp-yQ=-yP2p22p22经整理可得:yPyQ=-p.图42yRp设R,yR,M-2,yM,则有2p22yR-yPPR=,yR-yP,2p2pyPPM=--,yM-yP,22p由抛物线的性质可知,PR和PM与x轴均不平图5行,故yR-yP≠0,所以有(实验4)PQ为过焦点F1的焦点弦,任意改变点y2-y2y2R(R不在椭圆的顶点)的位置,PR交准线于M,过RPpP(yM-yP)=--(yR-yP),2p22pMQ的直线交椭圆于S,当显示直线RS时,学生们发yy-

8、p2现,直线RS仍过焦点F1.第1、2小组得出RP经整理可得:yM=y+y,猜想2　过椭圆准线上一点,向相应的焦点弦RPy2的两端点引直线,则过直线与椭圆的另两个交点的S设S=,yS,2p直线,经过椭圆的这一焦点.22yS-yQ鼓励引导学生证明猜想2:则有QS=,yS-yQ,2p证明　我们注意到△PF2S和△QF2R