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1、探索宇宙奥秘的数学结课论文任课老师-赵海青班级：农电0802姓名：左一丁学号：200801090227三次数学危机 提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。第一次数学危机 第一次数学危机发生在公元前五世纪古希腊时期,时间最早。当人类逐渐脱离蒙昧走向文明的
2、时候,不同的民族都会利用他们原始文明中的经验、思维方式给这个奇妙变化的世界一种解释:这个世界是如何构成的?怎样发展变化的?不同的民族文化对这种世界的解释表现出各自的智慧形态,有的民族(如在印度)采用了一种从神秘走向宗教的解释世界的方式;在中国则形成了阴阳学说、金木水火土“五行”学说等以此来解释世界。与此不同,古希腊民族则采用了一种以数字,即以数学解释世界的独特方式。毕达哥拉斯对数论作了许多研究,将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。因为有了数,才有几何学上的点,有了点才有线面和立体,有了立体才有火、气、水
3、、土这四种元素,从而构成万物,所以数在物之先。他曾证明用三条弦发出某一个乐音,以及它的第五度音和第八度音时,这三条弦的长度之比为6∶4∶3。在这里,他们满怀信心地期望,人们将发现数是最高统治者。因此,他们认为,凡物皆数,数是事物的原型,也构成宇宙的秩序。如果想认识周围的世界,就必须找出事物中的数。一旦数的结构被抓住,就能控制整个世界。同样的道理,“和谐”和“美感”也是由一定数的比例关系组成的。伟大的时刻来临了,毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理(其实中国于公元前一千一百年已有此定理)。但是,这个胜利是短命的。其学派中的一个成员希
4、帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2!的诞生。小小2!的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,无理数的出现,标志着毕达哥拉斯学派作为一种自然哲学体系的衰落。毕达哥拉斯学派所宣扬的算术和几何之间的完满和谐原来是一个骗局:数对于宇宙的最直接方面———几何———尚且无法解释,它又如何能够统治宇宙呢?实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有
5、古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的2!的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。原来第一次数学危机是无理
6、数的发现,不过它还说出了有理数的不完备性,亦即有理数不可以完全填满整条直线,在有理数之间还有罅隙,无疑这些都是可被证明的事实,是不能否定的。面对着事实,数学家展开广阔的胸襟,把无理数引入数学的大家庭。一直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到19世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 第二次数学危机 第二次数
7、学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高,17世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世,就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。1734年,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿,为计算比如说x2的
8、导数,先将x取一个不为0的增量Δx,由(x+Δx)2-x2,得到2xΔx+(Δx)2,后再被Δx除,得到2x+Δx,最后突然令Δx=0,求得导数为2x。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。因此,贝克莱嘲笑无穷小量
