函数列一致收敛的奥斯古德定理

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1、第３０卷第６期四川理工学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ３０Ｎｏ６２０１７年１２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ２０１７文章编号：１６７３１５４９（２０１７）０６００８３０６ＤＯＩ：１０．１１８６３／ｊ．ｓｕｓｅ．２０１７．０６．１５函数列一致收敛的奥斯古德定理１，２１，２邢家省，杨义川（１．北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京１００１９１；２．数学、信息与行为教育部重点实验室，北京１００１９１）摘要：研

2、究函数列的一致收敛性的理论方法问题，在有限闭区间上，给出了判断函数列一致收敛的奥斯古德定理和狄尼定理的两种形式，对奥斯古德定理给出了两种证明方法，给出了奥斯古德定理的几个推论，沟通了相关知识的联系，并通过实例说明奥斯古德定理的应用及其理论价值。在开区间或无限区间上，给出了函数列一致收敛的判别定理，并应用于研究含参变量广义积分的一致收敛性，从理论上沟通了函数列一致收敛与参变量广义积分的一致收敛的内在联系，构成一套理论方法体系。关键词：函数列的一致收敛性；等度一致连续；奥斯古德定理；狄尼定理中图分类号：Ｏ１７７２文献标志码：Ａ函数

3、列的一致收敛性是经典数学分析中的重要理合记为Ｃ（Ｉ）。［１８］论课题，具有深刻的学术发现意义，为后继理论发展设ＦＣ（Ｉ），如果存在常数Ｍ＞０，对任何ｆ∈Ｆ，提供基础，为此，人们进行了持续不断的研究。著名的任意ｘ∈Ｉ，都有ｆ（ｘ）≤Ｍ，则称函数族Ｆ在Ｉ上是一［１７］狄尼定理是判断函数列一致收敛的一个充分条件，［１，２，１１］致有界的。是数学分析中的常用定理。然而判断函数列一致收敛设ＦＣ（Ｉ），如果对ε＞０，δ＞０，当［１，８］的奥斯古德定理在数学分析中一般不作为定理给予ｘ１－ｘ２＜δ，ｘ１，ｘ２∈Ｉ时，便有ｆ（ｘ１）－

4、ｆ（ｘ２）＜ε，列出，没有得到足够的重视，导致人们在出现需要使用对所有ｆ∈Ｆ成立，则称函数族Ｆ在Ｉ上是等度一致连续［１，８１０］的场合，难于找到具体的出处。其实奥斯古德定理［１，１１］的。具有重要的理论发展意义，为Ａｒｚｅｌａ－Ａｓｃｏｌｉ定理的发［１，８，１４］定理１设函数列｛ｆ｝在有限闭区间［ａ，ｂ］ｎ现做了准备，Ａｒｚｅｌａ－Ａｓｃｏｌｉ定理为连续函数空间中的列上连续，且｛ｆ（ｘ）｝在［ａ，ｂ］上一致收敛于ｆ（ｘ），则有紧性理论提供了知识基础，是现代数学的一个基本理论ｎ［１１１３］ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的连续，且｛ｆ｝

5、在［ａ，ｂ］上等度一致结果，具有重要的应用价值。ｎ连续。１函数列一致收敛的奥斯古德定理定理１的证明见文献［１，８，１４］。［１，８，１４］设Ｉ是一个区间，将Ｉ上的连续函数全体构成的集定理２设在有限闭区间［ａ，ｂ］上的函数列收稿日期：２０１７０８０６基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２７１０４０）；北京航空航天大学校级重大教改项目（２０１４０３）作者简介：邢家省（１９６４），男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何泛函分析方面的研究，（Ｅｍａｉｌ）ｘｊｓｈ＠ｂｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ杨义川（１９７０）

6、，男，甘肃天水人，教授，博士，主要从事逻辑代数、序代数、软计算及其应用方面的研究，（Ｅｍａｉｌ）ｙｃｙａｎｇ＠ｂｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ８４四川理工学院学报（自然科学版）２０１７年１２月｛ｆ｝满足条件：ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］，且｛ｆ｝在由ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），对上述ｎｎｎｎｉｉｎ→∞ｎ→∞［ａ，ｂ］上等度一致连续，则有ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连ε＞０，存在Ｎ∈Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，便有ｆ（ｘ）－ｎｉ续。ｆ（ｘ）＜ε。ｉ证明由｛ｆ｝在［ａ，ｂ］上等度一致连续，得，对εｎ对任何ｘ∈［ａ

7、，ｂ］，ｘ必属于有限个区间族＞０，δ＞０，当ｘ１，ｘ２∈［ａ，ｂ］，且ｘ１－ｘ２＜δ时，便δδ[ｘｉ－，ｘｉ＋]（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）中的某一个，设２２有ｆｎ（ｘ１）－ｆｎ（ｘ２）＜ε，ｎ＝１，２，…；再利用ｌｎ→ｉｍ∞ｆｎ（ｘ）＝δδδｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］，取极限得ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）≤ε，即ｘ∈[ｘｋ－，ｘｋ＋]，则有ｘ－ｘｋ≤２＜δ，从而，２２ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续。有｜ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）｜＜ε，综合以上结果，得ｎｎｋ［１，８，１４］定理３设在有限闭区间［ａ，ｂ］上的函数列ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ）－

8、ｆ（ｘ）＋ｎｎｎｋ｛ｆ｝满足条件：ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］，且｛ｆ｝在ｎｎｎｎ→∞ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＜３εｎｋｋｋ［ａ，ｂ］上等度一致连续，则有｛ｆ（ｘ）｝在［ａ，ｂ］上一致ｎ这就证明｛ｆ（ｘ）｝在［ａ，ｂ］上一致收敛于ｆ（ｘ