本科生毕业论文（设计）(4).doc

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1、本科生毕业论文（设计）开题报告题目椭圆弧长的简单近似姓名与学号3080100287吴立伟指导教师程晓良年级与专业2008信息与计算科学所在学院理学院浙江大学本科生毕业论文开题报告开题报告一、研究的背景和意义在日常生产和科学研究中人们经常会遇到有关椭圆周长的计算问题，例如在数控机床上加工椭圆形截口的零件时，就需要先计算截口的周长。研究者经过多年的探索发现，得到的椭圆周长积分表达式无法转化成初等函数的形式，因此迄今为止还没有具体而准确的椭圆周长计算公式。然而考虑到工程领域的实际运用，人们迫切需要一个能尽可能准确计算椭圆周长的数学表达式，于是便有了接下来一系列关于椭圆周长近似公式的推导工作。

2、得出近似公式后，对其进行严密的实际应用验证和理论证明，最后取出误差较小的公式作为椭圆周长的常用计算公式应用于生产科研，直到有精度更高的近似公式被推导出来为止。1)四圆心法近似椭圆周长[1,3,8]在机械制图中，用四圆心法作椭圆的近似图形是大家所熟知的，这种方法是用四段圆弧来代替椭圆周。圆弧是容易计算的，计算出代替椭圆弧的圆弧长之和也就求出了椭圆周长的近似值。先谈谈四圆心法的作图。椭圆方程为：（1）式中，是椭圆的长半轴，是椭圆的短半轴，以表示离心率，即（2）如图1，分别以长短轴、为半径作同心圆，再以为圆心，以长短轴之差(图中OA—OC)为半径，在AC上取一交点L，再作AL的垂直平分线交

3、OA于E，交OC于F；以F为圆心，FC为半径作圆弧。同时，以E为圆心，EA为半径作弧。以弧近似地代替椭圆周的四分之一。根据椭圆形的对称性，易求出其它两个圆心，仿此可作椭圆周的其他弧段。-9-浙江大学本科生毕业论文开题报告现用圆弧长的公式计算，是弧所对的圆心角，以弧度表示。如图1，，，，，，，于是有，但(与均以弧度表示)。故可以推出弧长。同理可得。因此，椭圆周长的近似公式如下：（3）特别情形，当时，有，即，这就是圆周长。1)折线法近似椭圆弧长如同求圆周长一样，以圆内接正多边形的边长来代替圆周，可求得的近似值。它的实质是用折现代替圆弧线，用折现法求椭圆长，原理也是这样。由椭圆的参数方程，在

4、内等分成i段，即是取，，得点（图2）各点的坐标，，，…，，分别连接，，…，得i个折线段，各段长分别是-9-浙江大学本科生毕业论文开题报告……故椭圆周长的近似公式是（4）1)椭圆弧长的级数展开式折线法的基本思想是分割、作和式，也就是在讨论的区域内，将自变量t分成若干小段，在各小段中以弦线代替弧线然后相加。现在加上取极限这一步，也就是当分割无限变细时，和式的极限，以这个极限来定义椭圆的周长，由此得到的公式称弧线法公式现在我们来推导弧线法公式。[2,9]第一步：分割。在四分之一的椭圆弧中插入列点，两端点，之间插入点是。、点的坐标是、。记，于是有（5）第二步：作和式。利用椭圆的参数方程，可得，

5、即。同样，有。以，的参数表达式代入式(5)，然后把几个折线段相加，得和式（6）第三步：取极限。由和差化积公式-9-浙江大学本科生毕业论文开题报告得到以下公式。由于角的正弦与角的弧度之比，当角的弧度趋于0时的极限值是1。故。类似地，可推出。式（6）的极限式是将这个和式的极限写成定积分的形式（7）为方便讨论式（7）计算，将它化成只含长半轴、离心率及的形式。因为，故。又因，或，或，代入积分式后整理，得（8）这就是弧线法的椭圆全周长的积分式。接着再来谈谈椭圆全周长的级数展开式。积分式（8）是属于不能用初等函数表达结果的积分，必须寻求其他方法来计算。我们先将被积函数用二项式定理展开，得（9）当满

6、足一定条件时，这个级数可以逐项积分。当n是偶数时，查积分表，得（10）以式（9）、（10）代入（8），得椭圆全周长的级数式-9-浙江大学本科生毕业论文开题报告（11）有了这个级数式，就可以根据精确度要求取级数的任意有限多项来计算，直到满意为止。下面来讨论一下表达式的误差估计。假如取式（11）的前两项计算，那么省略的是自第三项起的以后各项之和的绝对值。用来表示这个值，即有观察易知，自第二项起的以后各项，它们的系数都小于第一项的系数，于是有，即。将系数化简后，有（12）类似地，若取前三项计算，误差的绝对值是同理，有（13）依此类推，有（14）（15）……1)利用椭圆弧长的级数展开式进行公式

7、推演讨论椭圆近似公式。该公式的证明过程其实不难，只要利用椭圆弧长的级数展开式代入即可。-9-浙江大学本科生毕业论文开题报告因为，按二项式定理展开，得（16）另一方面，。按二项式定理展开，得（17）由（16）和（17）式可得近似公式的级数式它的前四项与式（11）的前四项是完全相同的，精确度较高，加上公式的形式比较简单，因而被广泛采用。二、研究内容和拟解决关键问题[5,6,7]关于椭圆全周长的求解，Maclaurin曾在1742年提出以下的公式：（