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《【5A版】网络流最大流算法.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、NetworkFlowPresentedbyNetworkFlow基本性质:对于网络(G,u,s,t)1、容量限制(CapacityConstraints):F(x,y)<=C(x,y)2、流量守恒(FlowConservation):ΣF(v,x)=ΣF(x,u)3、斜对称性(SkewSymmetry):F(x,y)=-F(y,x)讨论的前提:G为简单有向图网络(G,u,s,t)中所有容量均为整数最大流(max-flow)问题,就是求在满足网络流性质的情况下,源点s到汇点t的最大流量。Ford–FulkersonalgorithmDefinition
2、:1、剩余图(residualgraph):2、剩余容量(residualcapacity):Ford–FulkersonalgorithmDefinition:3、一条f可扩路(theaugmentingpath):剩余图中的一条s-t路4、给定一个流f及剩余图中的一条路(或圈)P,沿P使f扩充r:对每一个e∈E(P)若e∈E(G),则令f(e)增加r;设e0∈E(G),若e为e0的反向边,则令f(e0)减小r注:此处的路径P不一定是可扩路Ford–Fulkersonalgorithm输入:网络(G、u、s、t)及各边容量输出:一条最大值的s-t流f
3、算法描述:1、初始时令所有边的流量f=0;2、求出剩余图(residualgraph),并在中找一条可扩路(theaugmentingpath)P。若无可扩路,则终止;3、算出P路中各边剩余容量的最小值r,并沿P使f扩充r,转2;MaximumFlow-MinimumCutTheoremDefinition:1、s-t流:指满足如下条件的流:a、源点流出量>0b、除s、t点外,图G中的所有点流量守恒注:此处的s-t流不单指图中特定的s-t路s-t流的值:源点s的流出量;2、s-t割:即点集S指向点集T(此处T=V(G)X)的边集,其中s∈S且t∈T割
4、的容量:各边容量之和最小s-t割:在G中关于u具有最小容量的s-t割MaximumFlow-MinimumCutTheoremDefinition:MaximumFlow-MinimumCutTheorem任一个网络(G,u,s,t)中,最大流的流量等于最小割的容量证明:1、任意一个流小于等于任意一个割(S,T),即value(F)<=cap(S,T)2、s∈S,t∈T当且仅当(S,T)中每条边的f都饱和,而(T,S)中每条边的f都为零时上式取等3、设F为网络的最大流,K为最小割,则value(F)<=cap(K)s∈S,t∈T;其中,令S={v∈V(
5、G)
6、从源s到v有f可扩路}∪{s};则t∉S(否则存在s-t可扩路,可得到更大的流),从而K'=(S,T)是网络中的一个割,故cap(K')>=cap(K);又可证(S,T)中每条边的f都饱和,而(T,S)中每条边的f都为零,故value(F)=cap(K')>=cap(K)综上,value(F)=cap(K)Theorem网络N(G,u,s,t)中的可行流f是N的最大流当且仅当N中不存在f可扩路必要性:若有可扩路P,沿P使f扩大即可充分性:设网络中不存在可扩路令S={v∈V(G)
7、从源s到v有f可扩路}∪{s},则与最大流最小割定理同样可证K'=(
8、S,T)是网络中的一个割,且value(f)=cap(K')设F为最大流,K为最小割,则value(f)<=value(F)<=cap(K)<=cap(K')故f即为最大流,K'即为最小割Ford–Fulkerson算法的劣势:Edmonds–Karpalgorithm-最大流问题的第一个多项式时间算法与Ford–Fulkerson算法相比,改进之处在于第二步中P路径的选择,与其任选,不如选最短(边数最少)算法步骤:1、令所有边的流量f=0;2、在中找条最短可扩路P,若无,则止;3、算出P路中各边剩余容量的最小值r,并沿P使f扩充r,转2;复杂度:Ed
9、monds–Karp可在O(m*m*n)内得解Edmonds–Karp算法中无论边容量多大,最多增流m*n/2次(m为边数,n为点数)每次增流用BFS最大为O(m)Dinic'salgorithmDefinition:分层图(levelgraph)首先,分层图是基于剩余图的其次,分层图会对所有顶点标号(与s的距离)最后,分层图中只存在这样的剩余边(u,v):dist(v)=dist(u)+1,不符合这一规律的边全部删去Dinic'salgorithmDefinition:阻塞流(blockingflow):网络(G,u,s,t)对应的分层图中所有可扩路
10、的并,即为阻塞流Dinic'salgorithm算法步骤:1、令所有边的流量f=0;2、构造剩