波动率模型的理论性分析与其在风险管理中的应用-(8085)

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1、浙江大学硕士学位论文命题4(ARCH0)过程的展开式)、假设过程￡是一强ARCH(1)过程，Ijvat(st)=盯2<∞．则寄=∞∑矿丌zj一，证明：·．‘￡：=6：z。2，a：=∞+8：E(i～毋∑。。l-lz2q)am+lE(《。一兀22吖)当m斗∞，因为zf独立，且E【Zf2】=1命题5：假设过程s。是一平稳强ARCH(1)过程，且E(算)=c

2、士学位论文=a2(m+1)3”1E(簟。1)a2(”+1)3”+1co02．E(仇)=E(G2)E(zj一1)=0Var吼)=E(G4)q(Z2：-1)2】=2耳洄+日《，)2】2(出2+2口甜占(《1)+口2E(《1))Cov(rl。，rh+，)=目盯?(Z2，一1)口：。(z2。；一1)1E【西(z2，～1)盯：，】E(z2№一1)=O．对s≠03￡；=o：z。2=a：+a；(z2。一1)=∞+口￡】十仉2．2：ARCH(I)模型的参数估计：ARCH模型的估计一般采用极大似然法一丑：墨珈皿likelihood(ML)method_假设回归过程t是条件正态分布，则有：P

3、fe：夏_：)=了妄i“p(一；要)log--似然函数l(co，。)的表达式为№，Ⅱ)=∑1,(09，a)*logp。(气)6浙江大学硕士学位论文Zlogp(s,]6一．)+logp。(q)=一Tn-1-叫”一i1台一"孑e,2+logp,(毛)一n。-1l092石-；骞纛+logp,c量，其中P。是平稳过程￡。的边际密度函数在条件似然函数产=logp(岛，．，E216)Z，不含log见(与)r(q口)=∑it(co，口)f=2～=∑logp(e,I吃)--!l092zr-12鲁+国十4d石当n越大，，一，6的差就可忽略不计。下图表示m{CH(1)过程的极大似然函数，其中

4、n=100固定参数∞LikelihoodftmctionofallhRCH(DProcess一、^I坤oARCH(11过程n=100的条件似然函数口。日詈上j乎一浙江大学硕士学位论文下面对ARCH(1)模型里的参数ARCH(1)模型，且‘b⋯g砸面1唧(一；争一：·。g：z山sq～三孝我们得到：篓：占(罢_1)ao2d：、a÷‘∞6Oa阶条件：∑：：雹6／8co=o∑：：钟／面=o即：这样可以估计出：国。三，。：占(3)(4)(5)(6)n=0(5)’11=0(6)根据假设q互2J=日幢／q)2l-1，因此括号里的冀二7‘二一1妁袈望是l，因此有：Ec等卜争当，∽类似地，

5、关于n的二阶导数的期望僵是：Ec警卜扣鲁，㈣8一砰一舌，年上研惫卜∞L鹾五。∑日者(《一《，一d～甜一2。∑日浙江丈学硕士学位论文命题6假设z，～N(o，1)，则口(篓)z】--E(篓)d∞0口‘证明：E【《)2】叫击(z心H))_E(4@A(3-2+1)=圭E(抄一日学)丑3：直霹皿(q)模型的定义和性质定义2ARCH(q)过程：￡，t∈Z，是ARCH(q)，知果满足：e(etIF．1)=0，彰=。+q吐l十¨+口。《。岱>0,a】≥O⋯Ⅱ口≥0且·YaK￡。lE一，)2口。2，且z。=dgt．是独立同分布．(iNARCH)·Var(s，

6、Et)=G；(半强ARC田会题

7、7。假设过程￡是一半强ARCH(q)i'I程，且陆(日)=矿

8、历史数据的可能就是瑕设权重逐渐减少的线性回归：即霹=国+口∑q屯。。：—2(q+—l-i)1q(q+11因此，只需要估计2个参数就可以。2．4ARCH(q)模型的参数估计：对一般ARCH(q)模型，条件极大似然函数户(口)：妻‘妒)：一掣l。92万一；窆l。g(z)t=a+l‘-』=2其中自=(国，q，．，a。)。虽然大家知道ARCH(1)模型可以通过图像分析，量曼譬幕i参数清影，其是非常复杂，非常不可操作的。TheScoreargorithm不仅可以晨亳±R、H模型．还可用在ARCH模型．为了使用这个方法，必须先求出似然函数