华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

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1、习题一9.证明laplace方程u+=u0在极坐标(,)rθ下为xxyy11uuu++=0rrr2θθrr⎧xr=cosθ证明：∵⎨,⎩yr=sinθ∴=uxyur(,)(cos,sin),θθr⎧⎪uuu=+cosθθsin;rxy⎨⎪ururu=−sinθθ+cos.⎩θxy⎧sinθ⎧∂⎛⎞∂sinθ∂uuu=−cosθ;⎪=−⎜⎟cosθ;⎪⎪⎪xrrθ∂∂∂xr⎝⎠rθ⇒⎨⎨⇒⎪⎪cosθ∂∂∂⎛⎞cosθu=sinθuu+.=+sinθ.⎩⎪yrθ⎪∂∂∂⎝⎠⎜⎟r⎩yrrθ从而∂∂uu⎛⎞∂sinθ∂∂u==−()c⎜⎟osθ()xx∂∂xx⎝⎠∂rr∂∂θx⎛⎞∂∂∂∂

2、sinθθ⎛uusin⎞=−⎜⎟cosθθ⎜cos−⎟⎝⎠∂∂∂∂rrθθ⎝rr⎠2222∂∂∂uuusincosθθsincosθθsinθ∂u=+cosθ−+222∂∂∂rrθθrrr∂∂r222sincosθθ∂∂uusincosθθsinθ∂u−++.222rr∂∂θθr∂r∂θ∂∂uu⎛⎞∂cosθ∂∂u==+()s⎜⎟inθ()yy∂∂yy⎝⎠∂rr∂∂θy⎛⎞∂∂∂∂cosθθ⎛⎞uucos=⎜⎟sinθθ++⎜⎟sin⎝⎠∂∂∂∂rrθθ⎝⎠rr2222∂∂∂uuusincosθθsincosθθcosθ∂u=−sinθ++222∂∂∂rrθθrrr∂∂r222sinc

3、osθθ∂∂uusincosθθcosθ∂u+−+.222rr∂∂θθr∂r∂θ11所以uuuu+=++=u0.xxyyrrr2θθrr习题二1.求下列问题的解2⎧ua=0),ttxx⎪⎪utut(0,)==(1,)0,⎪⎧1⎪xx,0<≤.(2)⎨⎪⎪2⎪ux(,0)=⎨1⎪⎪1,−

4、⎩XX(0)==(1)0.2得，λπ==(),nX()sxBin(nxπn=1,2,").nnn代入另一常微分方程，得TtC()=+cosantDππsinant(1,2,).n="nnn∞则uxt(,)=+∑(cosannantbππsinant)sinnxπ.n=11⎡⎤14nπ其中ax=+2⎢⎥2sinnππxdxx(1−)sinnxdx=sin.n∫∫1220nπ2⎣⎦2241nbx=−=−(1x)sinnπxdx⎡⎤()11.−n∫44⎣⎦anππ0na因此，所求定解问题的解为∞44nπnuxt(,)=+∑(22sincosantππ44⎡⎤()−1−1sinant)sinn

5、xπ.n=1nnππ2a⎣⎦2⎧ua=0),ttxx⎪utult(0,)==(,)0,⎪x⎪(3)⎨35πxxπ⎪ux(,0)3sin=+6sin,22ll⎪⎪⎩ux(,0)0.=t解：应用分离变量法，令uxtXxTt(,)=()().代入方程分离变量，得2Tt′′()+=λaTt()0,XxXx′′()+=λ()0.由边界条件分离变量，得XX(0)==′()0.l求解固有值问题⎧XxXx′′()+=λ()0,⎨⎩XX(0)==′()0.l()21n+π()21n+π2得，λ=(),X(xB)s==inxn(0,1,2,)".nnn2l2l代入另一常微分方程，得an

6、()21++ππan()21TtC()=+costDsint(n=0,1,2,)."nnn22ll∞an()21++ππan()21()21n+π则uxt(,)=+∑(cosanntbsint)sinx.n=122ll2l⎧3,n=1;235lππxx()21n+π⎪其中a=+(3sin6sin)sinxdx==⎨6,n2;n∫ll022ll2⎪⎩0,n≠12.、b=0.n因此，所求定解问题的解为33aaππ55ππuxt(,)3cos=+tsinx6costsinx.22ll22ll3.求下列定解问题的解：⎧uu=<4(0,xl0),txx⎪(2)⎨utul(0,)==0,(,

7、)t0,xx⎪⎩ux(,0)=−xlx().解：应用分离变量法，令uxt(,)=XxTt()().代入方程分离变量，得Tt′()4+=λTt()0,Xx′′()+=λXx()0.由边界条件分离变量，得XX′′(0)==()l0.求解固有值问题⎧Xx′′()+=λXx()0,⎨⎩XX′′(0)==()l0.nπ2nπ得，λ==(),XxA()cosxn(=0,1,2,").nnnll代入另一常微分方程，得2nπ2−()tTtDe()==l(n0,