不可压渗流驱动问题特征混合有限元的超收敛性分析

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1、不可压渗流驱动问题特征混合有限元的超收敛性分析(提要)多孔介质中的流体运动是一个复杂的物理现象，跟实际生活当中的环境污染问题和油藏开采问题等密切相关，一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容。本文主要考虑的是多孔介质中的不可压渗流驱动问题，其数学模型可以由一组非线性的偏微分方程耦合而成：椭圆型的压力方程和抛物型的浓度方程。本文将主要研究其离散格式的超收敛性质。§1数学模型和一些记号令nCR2是水平油藏区域，多孔介质区域f2中不可压渗流驱动问题在时间段J一[o：T】上的数学模型可以由下面的非线性偏微分

2、方程来描述(参考文献．12，3])·浓度方程：。害Ⅶ乳一V(D(n)甲(J=(ir')q，(川)纠×J·压力方程Vf鲁fv≯，)1：vu：q、¨L‘j。·初始条件和边值条件：?^77,=(Dl¨)Vf]n—oc(z，0)=co(z)÷^r1∈扫f2×』f∈n其中，D(“)=≯(t)¨。Hu¨F(，z)+也(，E(“))])，r。代表边界锄的外法线向量。方程组巾的自变量是协“，c)，它们分别表示混合流体的压力、Dar叫速度和浓度。方程组中其它函数表示的物理意义如下：q表示产量项；一表示多孔介质的ar

3、渗透性；≠为介质孔隙度；“(c)为流体的粘度；D(z、“)是扩散系数，其中F(一-)=(峨qht／b12．⋯ktz■。t{，。z。是分子扩散率，d，和画分别是纵向的和横向的弥散率。为了保证在边界条件(13)下解存在，我们还需加入相容条件厶qdx=0。本文中，我们假设所有函数充分光滑且具有n一周期的性质。此外，我们要求方程组中的函数满足：0

4、卅*：D+，Ⅳ+是有界常数。为简单起见，本文假设n=(o1)×(o，1)是单位正方形，记对压力方程和浓度方程的区域剖分分别为瓦和互，其中最大的剖分单元直径分别记为h，和／¨对乃和瓦上的任意剖分单元记为e，且在本文中，特别要求剖分互是拟一致的矩形剖分。我们使用Sobolev空间中的标准记号并定义：’Ⅳ”。(divlf2)二(，几儿，甲，[Ⅳ7“(nJ}，w一驯脏L2(Q)、￡wdn=o}，v：f”I艇H(divn)、口n=0在边界af!卜)M={xlx∈171(f)))本文巾，我们记』以cM，是由次

5、数不超过f的所有多项式的组成；记W×I噌[V×I,V，表示，-(r!o)阶Raviw_lhOI[18jjS(儿I；)空间，其定义如下(参考㈣)：W(耳)二{”∈V”Ic∈印川l，r㈤。0rH．【(‘’)比∈再)’(16I％(写)={1u∈【7r圳．n∈Qr，r(e)，Ve∈‘}其中，q，(z．Ⅳ)是指：在剖分单元e上，z方向上的多项式次数不超过。，Ⅳ方向上多项式次数不超过J的所有的多项式的集合。§2模型的离散格式实际问题当中，浓度方程(11)往往会表现出对流占优的特点，如果采取散的差分法逼近时间导

6、数项，将会产生很大的数值弥散，从而使得数值解失真。为了减小上述的数值弥散，本文使用MMOC(参考[31)来处理浓度方程中的双曲型部分。OCl'Cgt+“乳。我们先对时间区域。，进行剖分：且记函数，n(。)一m。n)。MMOC的基本思想就足视。at／or+uVc‘为f2×J上的方向导数，令s表示(m，，u驯方向上的单位向量，则(11)可以写成等价的形式：w,_Ocv(nVu)+qc=qj(21)Us其中，妒(z)=【lu(z)。+≠(z)2】l／2=[“。(z)2+u。(z)。+。(z)2P。对口,

7、瓦Oc在￡“时刻的值我们采用向后差分方法可以得到：pr”(2J)，c“(z)c”一1(z)9可■2≯—』_广其中，酗)=({(巩z=z鬻虬。结合(22)，并选取合适的有限元空间Mi，采用标准的Galcrkin方法进行离散，得到浓度方程的全离散格式：求GoC_，C

8、“en』i，使其满足(vn∈nI^，w11)(rI)xf。]．(23r1(矿∥：Y，，)1231)对压力方程(12)，我们采用混合有限元方法得到的离散格式为：令G是浓度。在t∈J时刻的近似，求似P}evj×1％，使其满足磐㈤瓦矿一等伯蚰％

9、雌∈Ch‰"uV0训二4√蚴％以【=)[>一U华在实际问题当中，Darcy速度随着时间的变化速度远比浓度随时问的变化速度要慢，所以我们对(24)将使用更大的时间步长。记关于压力方程在时间区间J上的剖分为该剖分满足：△￡。，△P，且对任意t⋯必存在￡。；：tn。除△吐之外，我们简记△t尹为△￡，，且Ym(z)=l(x，‰)。当t。一。<∥≤t。，我们使用‰·和‰。的外推得到驴，外推定义如下(。=2)：Eu“一1+ii鼍)‘‘n-乏卷um。(z-s)而，n=1时，EU“=乩。很明显，当