三角函数典型例题分析

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1、目录0°～360°间的三角函数·典型例题分析2弧度制·典型例题分析3任意角的三角函数·典型例题分析一5任意角的三角函数·典型例题精析二8同角三角函数的基本关系式·典型例题分析诱导公式·典型例题分析用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析三角公式总表正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析3函数y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析已知三角函数值求角·典型例题分析全章小结高考真题选讲0°～360°间的三角函数·典型例题分析例1 已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数．解 如图

2、2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2 求315°的四个三角函数．解 如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45°注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的．弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表．例2 将下列各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。∴它是第二象限的角．注意：用弧度制表示终边相同角2kπ+α(k∈Z)时，是π的偶数倍，而不是π的整数倍．A．第一象限    B．第二

3、象限C．第三象限      D．第四象限∴sinα＞0，tgα＜0因此点P(sinα，tgα)在第四象限，故选D．解 ∵M集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．任意角的三角函数·典型例题分析一 例1 已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值．分析 根据三角函数定义来解A．1           B．0C．2            D．-2例3 若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．分析 用不等式表示出α，进而求解．解 ∵

4、sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z)当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，有当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有∴α为第一或第三象限的角又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．综上所述,α在第三象限．义域为{x

5、x∈R且x≠kπ，k∈Z}∴函数y=tgx+ctgx的定义域是说明 本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域．例5 计算(1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°)分析 利用公式1，将任意角的三角函数化为0～2π间(或0°～

6、360°间)的三角函数，进而求值．解 (1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0任意角的三角函数·典型例题精析二 例1　下列说法中，正确的是[　　　]A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角

7、的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．【解】第一象限的角可表示为｛θ

8、k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ

9、0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ

10、θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ

11、0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．(90°－α)分别是第几象限角？【分析】　由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第

12、二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因为　180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以　－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故　－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因为