南京市四校第一学期联考试题

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1、南京市四校第一学期联考试题一、填空题（共14小题；共70分）1.设全集U=−2,2，若集合A满足∁UA=1,2，则A= ．2.在复平面内，复数z=i1−i+i2016（i为虚数单位）对应的点位于第 象限．3.某校有甲、乙、丙3个高三文科班，其中甲班有47人，乙班有51人，丙班有49人．现分析3个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是 分．4.已知向量a=2,−1，2b=−4,6，则a−b⋅a+b= ．5.已知等比数列an的各项都是正数，且3a12，a34，a2成等差数列，则a2016+a2

2、015a2014+a2013= ．6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b=a+c，若sinB=45，cosB=9ac，则b的值为 ．7.从1，2，3，4，5这五个数字中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．8.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,−π2<φ<0的图象的一个最高点为3π8,2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，则φ= ．9.定义x为不超过x的最大整数，例如1.3=1．执行如图所示的算法流程图，当输入x的值为4.7时，则输出y的值为 ．10.已知正三棱锥P−ABC的体积为223，底面边长为2，则侧棱PA的长为 ．11.已

3、知周期为4的函数fx=1−x2,x∈−1,11−∣x−2∣,x∈1,3，则方程3fx=x的根的个数为 ．12.在平面直角坐标系中，不等式组x+y≥0,x−y≥0,x≤aa为常数表示的平面区域的面积为4，则x2+y的最小值为 ．第14页（共14页）13.已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且∣CD∣=∣CF2∣，则双曲线的离心率为 ．14.若关于x的不等式ax−1lnx+ax≥0在0,+∞上恒成立，则实数a的取值范围是 ．二、解答题（共12小题；共156

4、分）15.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2−c2sinA=absinC+2sinB，a=1．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的周长的取值范围．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD，BC=CD=12AD，E，F分别为AD，PD的中点．（1）求证：CF∥平面PAB；（2）求证：平面PEC⊥平面PBD．17.如图是一个半圆形广场的平面示意图．已知AB为直径，且AB=200 m，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB．设∠AOC=x rad（rad为弧度单位）．（1）现在准备对半圆形

5、广场进行绿化，在△OCD内栽花，其余部分植树，求植树面积Sx的最小值；（2）如果从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧AC，C到D是线段CD．设观光路线总长为fx，求观光路线总长fx的最大值．18.已知椭圆C:x24+y2b=10

6、1，且m>n，求证：mmnn≥em−n．20.已知数列an，bn满足bn=an+1−an，其中n=1,2,3,⋯．（1）若a1=1，bn=n，求数列an的通项公式；（2）若bn+1bn−1=bnn≥2，且b1=1，b2=2．（i）记cn=a6n−1，求证：数列cn为等差数列；（ii）若数列ann中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求a1应满足的条件．21.如图，在⊙O的直径AB的延长线上任取一点C，过点C作直线CE与⊙O交于点D，E，记点E关于直径AB的对称点为F，连接DF，交AB于G．若CB=14AB，求CBCG的值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线x+y−2=0在矩阵A=1

7、mn2对应的线性变换作用下得到的直线仍为x+y−2=0，求矩阵A的逆矩阵A−1．23.已知两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cosθ+π3，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．24.已知函数fx=∣x−1∣+∣x−2∣．若不等式∣a+b∣+∣a−b∣≥∣a∣fx（a≠0，a,b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．25.某学习小组由3名男生和3名女生组成，现从中选取参加学校座谈会的代表，规则是每次选取1人，依次选取，