北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试（数学理)

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1、北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试（数学理)一、选择题（共8小题；共40分）1.已知平面向量a=3,1，b=x,3，且a⊥b，则实数x的值为______A.9B.1C.−1D.−92.设集合U=1,2,3,4，M=x∈U  x2−5x+p=0，若∁UM=2,3，则实数p的值为______A.−4B.4C.−6D.63.设数列an是公差不为0的等差数列，a1=1且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于______A.n28+7n8B.n24+7n4C.n22+3n4D.n2+n4.执行如图所示的程序框图，输出的S

2、值为______A.1B.−1C.−2D.05.已知函数fx=sinx+3cosx，设a=fπ7，b=fπ6，c=fπ3，则a，b，c的大小关系是______A.a

3、三棱锥N−AMC的体积y=fx的函数图象大致是______第8页（共8页）A.B.C.D.8.已知集合A=x,yx=n,y=na+b,n∈Z，B=x,yx=m,y=3m2+12,m∈Z．若存在实数a，b使得A∩B≠∅成立，称点a,b为“￡”点，则“￡”点在平面区域C=x,yx2+y2≤108内的个数是______A.0B.1C.2D.无数个二、填空题（共6小题；共30分）9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间60,70上的汽车大约有______辆．10.某几何体的三视图如图所示，

4、则这个几何体的体积是______．11.在平面直角坐标系中，不等式组x+y≥0,x−y+4≥0,x≤a所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为______．12.设直线x−my−1=0与圆x−12+y−22=4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是______．第8页（共8页）13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x∈N*）的关系为y=−x2+18x−25．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．14.已知两个正数a，b，可按规则c

5、=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是______；（2）若p>q>0，经过6次操作后扩充所得的数为q+1mp+1n−1（m，n为正整数），则m，n的值分别为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a−2bsinA=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且a>c，b=7，求AB⋅AC的值．16.如图，一个圆形游

6、戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为a,b（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（1）求某个家庭得分为5,3的概率?（2）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少?（3）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（2）的条件

7、下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．17.如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，AD=2a，AB=3a，SA=SD=a．（1）求证：CD⊥SA；第8页（共8页）（2）求二面角C−SA−D的大小．18.已知函数fx=lnax+1+1−x1+x（x≥0，a为正实数）．（1）若a=1，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间；（3）若函数fx的最小值为1，求a的取值范围．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，直线l过点A4,0，B0,2，且与椭圆C相切于点P

8、．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点A4,0的直线m与椭圆C相交于不同的两