2017年上海市长宁区、嘉定区高三一模数学试卷

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1、2017年上海市长宁区、嘉定区高三一模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.设集合A=xx−2<1,x∈R，集合B=Z，则A∩B=______．2.函数y=sinωx−π3ω>0的最小正周期是π，则ω=______．3.设i为虚数单位，在复平面上，复数32−i2对应的点到原点的距离为______．4.若函数fx=log2x+1+a的反函数的图象经过点4,1，则实数a=______．5.已知a+3bn展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=______．6.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，

2、则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有______种．7.若圆锥的侧面展开图是半径为2 cm，圆心角为270∘的扇形，则这个圆锥的体积为______cm3．8.若数列an的所有项都是正数，且a1+a2+⋯+an=n2+3nn∈N*，则limn→∞1n2a12+a23+⋯+ann+1=______．9.如图，在△ABC中，∠B=45∘，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为______．10.有以下命题：①若函数fx既是奇函数又是偶函数，则fx的值域为0；②若函数fx是偶函数，则f∣x∣=fx；③若函

3、数fx在其定义域内不是单调函数，则fx不存在反函数；④若函数fx存在反函数f−1x，且f−1x与fx不完全相同，则fx与f−1x图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）11.设向量OA=1,−2，OB=a,−1，OC=−b,0，其中O为原点坐标，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则1a+2b的最小值为______．12.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为______cm

4、．第7页（共7页）二、选择题（共4小题；共20分）13.“x<2”是“x2<4”的  A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若无穷等差数列an的首项a1<0，公差d>0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是  A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值15.给出下列命题：（1）存在实数α使sinα+cosα=32．（2）直线x=−π2是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=coscosxx∈R的值域是cos1,1．（4）若α，β都是第一象限角，且α

5、>β，则tanα>tanβ．其中正确命题的题号为  A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）16.如果对一切实数x，y，不等式y4−cos2x≥asinx−9y恒成立，则实数a的取值范围是  A.−∞,43B.3,+∞C.−22,22D.−3,3三、解答题（共5小题；共65分）17.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30∘，且AB=BC=2．（1）三棱锥A−BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.在△ABC

6、中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2B+C2−2cos2A=7．第7页（共7页）（1）求角A的大小；（2）若a=3，b+c=3，求b和c的值．19.某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为1,2，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+bk>0的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（

7、1）求证：b=−k28；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M，N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=St，并求S的最大值．20.已知函数fx=9x−2a⋅3x+3；（1）若a=1，x∈0,1时，求fx的值域；（2）当x∈−1,1时，求fx的最小值ha；（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当ha的定义域为m,n时，其值域为m2,n2，若存在，求出m，n值，若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列an的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1−1，其中

8、a≠1，常数r∈N．（1）求证：an+2−an是一个定值；（2）数列an是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称an为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=2⋅3n−1n∈N*，问：数列cn中