2017年上海市黄浦区高三二模数学试卷

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1、2017年上海市黄浦区高三二模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.函数y=2x−x2的定义域是 ．2.若关于x，y的方程组ax+y−1=0,4x+ay−2=0有无数多组解，则实数a= ．3.若“x2−2x−3>0”是“x0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 ．6.设变量x，y满足约束条件x+y≥2,x−y≤1,y≤2,则目标函数z=−2x+y的最小值为 ．7.

2、已知圆C：x−42+y−32=4和两点A−m,0，Bm,0m>0，若圆C上至少存在一点P，使得∠APB=90∘，则m的取值范围是 ．8.已知向量a=cosπ3+α,1，b=1,4，如果a∥b，那么cosπ3−2α的值为 ．9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 ．10.若将函数fx=sinωx−π8（ω>0）的图象向左平移π12个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．11.三棱锥P−ABC满足：AB⊥AC，AB⊥AP，AB=2，AP+AC=4，则该三棱锥的体积V的取值范围是 ．12.对于数列an，若存在正

3、整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列an是以T为周期的周期数列．设b1=m011bn,0

4、5.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为  A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±3y=0D.3x±4y=016.如图所示，∠BAC=2π3，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAEx,y∈R，则x+y的取值范围是  A.1,4+23B.4−23,4+23C.1,2+3D.2−3,2+3三、解答题（共5小题；共65分）17.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点

5、．（1）求证：AE⊥DF；（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．第10页（共10页）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB成等差数列．（1）求角A的大小；（2）若a=32，b+c=6，求AB+AC的值．19.如果一条信息有nn>1,n∈N种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，⋯，pn，则称H=fp1+fp2+⋯fpn（其中fx=−xlogax，x∈0,1）为该条信息的信息熵．已知f12=12．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活

6、动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，⋯，An）参加，若当k=1,2,⋯,n−1时，选手Ak获得冠军的概率为2−k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．20.设椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P−12,12，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21.若函数fx满足：对于任意正数s，t，都有fs>0，ft>0

7、，且fs+ftx2−2x．第10页（共10页）答案第一部分1.0,2【解析】由2x−x2≥0得0≤x≤2，故函数的定义域为0,2．2.2【解析】根据题意，若关于x，y的方程组ax+y−1=0,4x+ay−2=0有无数多组解，则直线ax+y−1=0与直线4x+