2017年北京市西城区高三理科一模数学试卷

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1、2017年北京市西城区高三理科一模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.若集合A=x−30，则A∩B=  A.x−3−32.在复平面内，复数i1+i的对应点位于  A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数fx=sin2x−cos2x的最小正周期是  A.π2B.πC.3π2D.2π4.设函数fx=ax2+bx+ca,b,c∈R．若x=−1为函数fxex的一个极值点，则下列图象不可能为y=fx的图象是  A.B.C.D.5.在△ABC中，点D满足BC

2、=3BD，则  A.AD=13AB−23ACB.AD=13AB+23ACC.AD=23AB−13ACD.AD=23AB+13AC6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为  A.25B.42C.6D.43第10页（共10页）7.数列an的通项公式为an=n−cn∈N*．则“c≤1”是“an为递增数列”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝

3、对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m，则m的最大值为  A.8B.9C.10D.11二、填空题（共6小题；共30分）9.在1+2x5的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）10.设等比数列an的前n项和为Sn．若a1=3，S2=9，则an= ；Sn= ．11.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．12.曲线x=cosθ,y=1+sinθ（θ为参数）与直线x+y−1=0相交于A，B两点，则AB= ．13.实数a，b满足0

4、ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≤5的点P组成，则W的面积是 ；四面体P−A1BC的体积的最大值是 ．三、解答题（共6小题；共78分）第10页（共10页）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的取值范围．16.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（1）求证：AC⊥平面 PBD；（2）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（3）若平面AEF与棱PC交于点M，求PMPC的值．17.在测试中，客观题难度的计算公式为Pi=

5、RiN，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度 Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设Pi

6、ʹ为第i题的实测难度，请用Pi和Piʹ设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．18.已知函数fx=exx2−a，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程．（2）若函数fx在−3,0上单调递减，试求a的取值范围．（3）若函数fx的最小值为−2e，试求a的值．19.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，F为椭圆C的右焦点．A−a,0，AF=3．第10页（共10页）（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直

7、线x=4交于点E．求证：∠ODF=∠OEF．20.如图，将数字1，2，3，⋯，2nn≥3全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，⋯，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，⋯，bn．a1a2⋯anb1b2⋯bn记Sn=ai−bii=1n=a1−b1+a2−b2+⋯+an−bn．（1）当n=3时，若a1=1，a2=3，a3=5，写出S3的所有可能的取值；（2）给定正整数n．试给出a1，a2，⋯，an的一组取值，使得无论b1，b2，⋯，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（3）求证：对于给定的n以及满足

8、条件的所有填法，Sn的所