2015年江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期数学期中考试试卷（3）

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1、2015年江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期数学期中考试试卷（3）一、填空题（共14小题；共70分）1.已知全集U=R，集合A=x−2≤x≤3，B=xy=1x+1，则集合A∩∁UB= ．2.若a,b∈R，i为虚数单位，且a+ii=b+i，则a+b= ．3.同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是 ．4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，大于或等于14秒的为良好，由测试结果得到的频率分布直方图如图，则该班百米测试中成绩良好的人数有 人．5.已知函数y=sinωx+φω>0,

2、−π<φ<π的图象如图所示，则f0= ．6.如图是一个算法的流程图，若输入x=2，则输出k的值是 ．第8页（共8页）7.将函数y=sin2x−π3的图象先向左平移π3，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 ．8.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= ．9.在△ABC中，BD=2DC，AB=mAD+nAC，则mn= ．10.等差数列an前9项的和等于前4项的和．若a1≠0，Sk+3=0，则k=

3、 ．11.在△ABC中，B=120∘，AB=2，A的角平分线AD=3，则AC= ．12.若函数fx=3x−b,x<12x,x≥1，若ff56=4，则b= ．13.已知函数fx=x3,x≤ax2,x>a，若存在实数b，使函数gx=fx−b有两个零点，则a的取值范围是 ．14.已知函数fx=x1−∣x∣，分别给出下面几个结论：①fx是奇函数；②函数fx的值域为R；③若x1≠x2，则一定有fx1≠fx2；④函数gx=fx+x有三个零点．其中正确结论的序号有 （请将你认为正确的结论的序号都填上）二、解答题（共6小题；共7

4、8分）15.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若2sinAcosC=sinB，求ac的值；（2）若sin2A+B=3sinB，求tanAtanC的值．16.已知cosβ−π4=13，sinα+β=45，其中0<α<π2<β<π．（1）求sin2β的值；（2）求cosα+π4的值．17.已知函数fx=ax2−5a−1x+3a+1a∈R．（1）若fx在区间1,+∞上是单调增函数，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若函数fx在区间1,5上有零点，求a的取值范围．18.如图①，有一块圆心

5、角为90∘，半径为2的扇形钢板，计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状，最终变成图②的形状，OM⊥CD，垂足为M．第8页（共8页）（1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，将五边形OADCB的面积S表示成θ的函数关系式；（2）设t=cosθ−sinθ，①求t的取值范围；②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，并求出S的最大值及取得最大值时θ的值．19.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项、第4

6、项、第8项，⋯，第2n项，⋯，按原来顺序组成一个新数列bn，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．20.已知函数fx=x3+ax2−a2x+2，a∈R．（1）若a<0时，试求函数y=fx的单调递减区间；（2）若a=0，且曲线y=fx在点A，B（A，B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；（3）如果对于一切x1,x2,x3∈0,1，总存在以fx1，fx2，fx3为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．第8页（共8页）答案第一部分1.x−2≤x≤−12.03.594.475.

7、sin9π106.47.y=sinx+π38.12【解析】因为A+C=2B，所以B=60∘，又由正弦定理得：asinA=bsinB，所以sinA=asinBb=323=12．9.−610.1011.6【解析】在三角形ABD中，由正弦定理得，ADsinB=ABsin∠ADB，解得sin∠ADB=22，因为0<∠ADB<60∘，所以∠ADB=45∘，所以∠BAD=15∘，所以∠BAC=30∘，所以∠BCA=30∘．在三角形ABC中，由正弦定理得，sin∠ABCAC=sin∠BCAAB，解得AC=6．12.118【解析

8、】因为函数fx=3x−b,x<12x,x≥1，所以f56=52−b，若52−b<1，即b>32，则ff56=f52−b=152−4b=4，解得：b=78（舍去），若52−b≥1，即b≤32，则ff56=f52−b=2152−4b=4，解得b=118，综上所述：b=118．13.aa<0或a>1【解析】因为gx=fx−b有两个零点，所以fx=b有两个零点，即y=fx与y=b