2015年南京市四校高三第二次调研测试

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1、2015年南京市四校高三第二次调研测试一、填空题（共14小题；共70分）1.已知集合M=0,1,2,3，N=x∈Z10 Theny ← -xElsey ← xEnd IfPrint y4.某校高三年级共有师生800人，现用分层抽样的方法从中抽取120人组成合唱团参加学校艺术节的师生大合唱比赛，若从学生中抽取的人数为

2、114，则高三年级的教师人数是______．5.已知函数fx=2sinx+π3−m在0,π上有两个零点，则实数m的取值范围为______．6.现有两张卡片，一张的正面写着数字1，反面写着数字2，另一张的正面写着数字0，反面写着数字a（a为小于10的正整数），将两张卡片排在一起组成一个两位数，若两位数能被6整除的概率为13，则a=______．7.已知直线l:y=2x和双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______．8.已知函数fx=1−3mx+10（m为常数）

3、，若数列an满足an=fnn∈N*，且a1=2，则数列an的前10项和为______．9.已知曲线y=sinx在x=0处的切线与曲线y=lnx−x+a相切，则实数a=______．10.若函数y=∣x∣−2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是______．11.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2，DE=CE=PE．设PA=a，若三棱锥B−CDE的体积V∈2515,21515，则实数a的取值范围为______．12.在△ABC中，B

4、=π3，AC=3，则△ABC的周长的最大值为______．第9页（共9页）13.已知函数fx=−2x1+∣x∣，若对区间M=m,n，集合N=yy=fx,x∈M，且M=N，则m−n=______．14.已知在△ABC中，AB⋅AC=9，S△ABC=6，若AC=3，P为线段AB上的点，且CP=xCA∣CA∣+yCB∣CB∣，则xy的最大值为______．二、解答题（共12小题；共156分）15.在平面直角坐标系中，角φ，角2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A,B两点，函数fx=OA⋅OB．（1）若x=2π

5、3时，函数fx取得最小值，求函数fx的解析式；（2）若fπ8=12，求sin2φ．16.如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M,N分别为PB，PC的中点．（1）求证：平面MON∥平面PAC；（2）求证：平面PBC⊥平面MON．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，右准线l的方程为x=2，上顶点为A，圆O:x2+y2=a2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AE交椭圆于点E，过点A垂直于AE的直线交圆O于M,N两

6、点．（1）求△OMN的面积的最大值；（2）求△MNE的面积的最大值．18.为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一只直角梯形．已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中EF⊥FH．为截剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD第9页（共9页）（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C，D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ．（1）求梯形铁片ABCD的面积；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．19.已知函数fx=xlnx−kx−1，k∈R．（1）当

7、k=1时，求函数fx的单调区间；（2）若函数y=fx在区间1,+∞上有1个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在正整数k，使得fx+x>0对x∈1,+∞恒成立?若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．20.已知等比数列an的首项a1=2015，公比q=−12，前n项和为Sn，前n项积为Tn．（1）证明：S2≤Sn≤S1；（2）求Tn取得最大值时的n的值；（3）证明：若数列an中的任意相邻三项按从小到大的顺序排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为d1，d2,⋯,dn，

8、则数列dn为等比数列．21.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：AE=DE．22.已知矩阵M=1a34，N=0−11b，若点P52,1在矩阵MN对应的变换作用下得到点Q0,1，求a+b的值．23.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位．已