2015年广东省广州市华南师大附中高三理科三模数学试卷

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1、2015年广东省广州市华南师大附中高三理科三模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.设i为虚数单位，若复数z=m2+2m−8+m−2i是纯虚数，则实数m=  A.2B.−4或2C.2或−4D.−42.已知命题p:∃x0∈R，cosπ−x0=cosx0；命题q:∀x∈R，x2+1>0．则下面结论正确的是  A.p∨q是真命题B.p∧q是假命题C.¬q是真命题D.p是假命题3.若x,y满足约束条件2x+2y≥1x≥y2x−y≤1，且向量a=3,2，b=x,y，则a⋅b的取值范围  A.54,5B.72,5C.54,4D.72,44.同时具有性质“①最小正周期是

2、4π；②直线x=π3是图象的一条对称轴；③在区间2π3,5π6上是减函数”的一个函数是  A.y=sin2x−π6B.y=cos2x−π6C.y=cosx2+π3D.y=sinx2+π35.函数fx=log2x+1的图象大致是  A.B.C.D.6.已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，∣MF∣+∣NF∣=6，则MN中点的横坐标为  A.32B.2C.52D.3第10页（共10页）7.设函数y=fx在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fpx=fx,fx≤pp,fx>p，则称函数fpx为fx的“p界函数”，若给定函数fx=x2−2x−1

3、，p=2，则下列结论不成立的是  A.fpf0=ffp0B.fpf1=ffp1C.fpfp2=ff2D.fpfp3=ff38.若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数fx的图象上；②点A，B关于原点对称，则点对A,B是函数fx的一个“姊妹点对”．点对A,B与B,A可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数fx=x2+2x,x<0x+1ex,x≥0，则fx的“姊妹点对”有  A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（共7小题；共35分）9.不等式x−1x<2的解集为 ．10.2x2−1x6的展开式的常数项是 （用数字作答）.11.如图是一个算法的流程图，则最

4、后输出的S是 ．12.某三棱锥的三视图如图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．13.数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 个．14.设曲线C的参数方程为x=a+4cosθ,y=1+4sinθ（θ是参数，a>0），直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值是 ．第10页（共10页）15.如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，且CD=4，BD=8，则⊙O的半径

5、等于 ．三、解答题（共6小题；共78分）16.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=π3．（1）若△ABC的面积等于3，求a，b；（2）若sinC+sinB−A=2sin2A，求A的值．17.在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数．（1）求x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率；（2）求随机变量z的概率分布列和数学期望．18.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1，∠BCA=90∘，

6、AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求CC1到平面A1AB的距离；（3）求二面角A−A1B−C的平面角的余弦值．19.设数列an的各项都是正数，记Sn为数列an的前n项和，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+⋯+an3=Sn2．（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=3n+−1n−1λ⋅2an（λ为常数且λ≠0，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn+1>bn，20.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2pyp>0的焦点，且抛物线C1上点P处

7、的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q．第10页（共10页）（1）当直线PQ的方程为x−y−2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求S1S2的最小值．21.设M是由满足下列条件的函数fx构成的集合："①方程fx−x=0有实数根；②函数fx的导数fʹx满足0

8、fx−x=0只有一个实数