2015年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)

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1、2015年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=x∈Rx>0，集合A=x∈Rx≥2，则∁UA=______A.x∈Rx<2B.x∈R0

2、,0时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为______A.5B.4C.3D.25.为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示，由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为______A.0.375B.0.625C.0.5D.0.125第8页（共8页）6.已知函数fx=log2x+a+log2x−aa∈R．命题p:∃a∈R，函数fx是偶函数；命题q:∀a∈R，函数fx在定义域内是增函数，那么下

3、列命题为真命题的是______A.¬qB.p∧qC.¬p∧qD.p∧¬q7.某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：Vt=H10−110t3（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为vm3/h．那么，瞬时融化速度等于vm3/h的时刻是图中的______A.t1B.t2C.t3D.t48.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B−D1EC的表面积最大，则E点位于______A.点A处B.线段AD的中点处C.线段AB的

4、中点处D.点D处二、填空题（共6小题；共30分）9.抛物线y2=−2x的焦点坐标是______．10.若双曲线x2−y2m=1的一条渐近线的倾斜角为60∘，则m=______．11.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为______．第8页（共8页）12.设不等式组2x−y−2≤0,x+y−1≥0,x−y+1≥0表示的平面区域为D，则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是______．13.在等比数列an中，若a1=−24，a4=−89，则公比q=______；当n=______时，an的前n项积最大．14.已知⊙O

5、：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15.函数fx=cosπx+φ0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）写出φ及图中x0的值；（2）求fx在区间−12,13上的最大值和最小值．16.某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核前

6、，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）考核分答辩和笔试两项．5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求证：BC∥平面AB1C1；第8

7、页（共8页）（2）求证：B1C⊥AC1；（3）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．18.已知椭圆M:x2+2y2=2．（1）求M的离心率及长轴长；（2）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）?若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．19.已知函数fx=exx．（1）若曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程为ax−

8、y=0，求x0的值；（2）当x>0时，求证：fx>x；（3）问集合x∈Rfx−bx=0（b∈R且为常数）的元素有多少个?（只需写出结论）20.数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，2an+1=2an+p（p为常数，n=1,2,3,⋯）．（1）若S3=12，求Sn；（2）若数列an是等比数列，求实数p的值；（3）是