2015年北京市朝阳区高三理科数学一模试卷

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1、2015年朝阳一模理一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=1,2,m2，B=1,m．若B⊆A，则m= ()A.0B.2C.0或2D.1或22.已知点A1,y0（y0>0）为抛物线y2=2px（p>0）上一点．若点A到该抛物线焦点的距离为3，则y0= ()A.2B.2C.22D.43.在△ABC中，若A=π3，cosB=63，BC=6，则AC= ()A.42B.4C.23D.4334.“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“a≤2”的 ()A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.即不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上1

2、9点停止进入，在如图所示的框图中，t表示整点时刻，at表示时间段t−1,t内进入商场人次，S表示某天某整点时刻进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填 ()A.t≤17?B.t≥19?C.t≥18?D.t≤18?6.设x1，x2，x3均为实数，且13x1=log2x1+1，13x2=log3x2，13x3=log2x3，则 ()A.x1

3、A.12B.22C.2D.28.设集合M=x0,y0x02+y02≤20,x0∈Z,y0∈Z，则M中元素的个数为 ()A.61B.65C.69D.84二、填空题（共6小题；共30分）第10页（共10页）9.i为虚数单位，计算1−2i1+i= ．10.设Sn为等差数列an的前n项和．若a3+a8=3，S3=1，则通项公式an= ．11.在极坐标系中，设ρ>0，0≤θ<2π，曲线ρ=2与曲线ρsinθ=2交点的极坐标为 ．12.已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 （用数字作答）．13.设

4、z=3x+y，实数x，y满足2x+y≥0,2x−y≤0,0≤y≤t.其中t>0，若z的最大值为5，则实数t的值为 ，此时z的最小值为 ．14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了nn∈N*次．则第一次挖去的几何体的体积是 ；这n次共挖去的所有几何体的体积和是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=cos2x+3sinxcosx，x∈R．（1）求fx的最小正周期和单调递减区间；（2）设x=mm∈R是函数y=fx图象的对称轴，求sin4m的值．16.

5、如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在80,100之间的频率；（2）现从分数在80,100之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在90,100的份数为X，求X的分布列和数学期望．17.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=12CD．第10页（共10页）（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐

6、二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF?若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由．18.已知函数fx=alnx+x22−a+1x，a∈R．（1）当a=−1时，求函数fx的最小值；（2）当a≤1时，讨论函数fx的零点个数．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F2,0，离心率为63．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的最大值．20.若数列an中不超过fm的项数恰为bmm∈N*，则称数

7、列bm是数列an的生成数列，称相应的函数fm是an生成bm的控制函数．设fm=m2．（1）若数列an单调递增，且所有项都是自然数，b1=1，求a1；（2）若数列an单调递增，且所有项都是自然数，a1=b1，求a1；（3）若an=2nn=1,2,3⋯，是否存在bm生成an的控制函数gn=pn2+qn+r（其中常数p,q,r∈Z），使得数列an也是数列bm的生成数列?若存在，求出gn；若不存在，说明理由．第10页（共10页）答案第一部分1.C2.C3.B4.A5.D6.A【解析】利用数形结合做出函数的图象，则有x1

8、以OP⋅OB=OA⋅OB