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1、2014年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数7+i3+4i=______A.1−iB.−1+iC.1725+3125iD.−177+257i2.设变量x，y满足约束条件x+y−2≥0,x−y−2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为______A.2B.3C.4D.53.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为______A.15B.105C.245D.9454.函数fx=log12x2−4的单调递增区间是______A.0,+∞B.−∞,0C.2,+∞D.−∞,−25.已
2、知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为______A.x25−y220=1B.x220−y25=1C.3x225−3y2100=1D.3x2100−3y225=16.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD⋅FA；③AE⋅CE=BE⋅DE；④AF⋅BD=AB⋅BF．则所有正确结论的序号是__
3、____A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.设a,b∈R，则“a>b”是“aa>bb”的______A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件8.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120∘，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC，若AE⋅AF=1，CE⋅CF=−23，则λ+μ=______A.12B.23C.56D.712二、填空题（共6小题；共30分）9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个
4、容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取______名学生．10.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为______m3．11.设an是首项为a1，公差为−1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为______．12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b−c=14a，2sinB=3sinC，则cosA的值为______．13.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ
5、=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为______．14.已知函数fx=x2+3x，x∈R．若方程fx−ax−1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=cosx⋅sinx+π3−3cos2x+34，x∈R．（1）求fx的最小正周期；（2）求fx在闭区间−π4,π4上的最大值和最小值．16.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他
6、互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F−AB−P的余弦值．18.设椭圆x2
7、a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知AB=32F1F2．（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．19.已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M=0,1,2,⋯,q−1，集合A=xx=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,⋯,n．（1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（2）设s,t∈A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1，t=b1+b2q+⋯+bn
8、qn−1，其中ai,bi∈M，i=1,2,⋯,n．证明：若an
