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1、2012年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1.i是虚数单位，复数7−i3+i= ()A.2+iB.2−iC.−2+iD.−2−i2.设φ∈R，则＂φ=0＂是＂fx=cosx+φx∈R为偶函数＂的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为−25时，输出x的值为 ()A.−1B.1C.3D.94.函数fx=2x+x3−2在区间0,1内的零点个数是 ()A.0B.1C.2D.35.在2x2−1x5的二项展开式中，x的系数为 ()A.10B.−10C
2、.40D.−406.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC= ()A.725B.−725C.±725D.24257.已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=1−λAC，λ∈R，若BQ⋅CP=−32，则λ= ()A.12B.1±22C.1±102D.−3±2228.设m,n∈R，若直线m+1x+n+1y−2=0与圆x−12+y−12=1相切，则m+n的取值范围是 ()A.1−3,1+3第12页（共12页）B.−∞,1−3∪1+3,+∞C.2−22,2+22D.−∞,2−
3、22∪2+22,+∞二、填空题（共6小题；共30分）9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校．10.―个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．11.已知集合A=x∈R∣x+2∣<3，集合B=x∈Rx−mx−2<0，且A∩B=−1,n，则m= ，n= ．12.已知抛物线的参数方程为x=2pt2,y=2pt（t为参数），其中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若∣EF∣=∣MF∣，点
4、M的横坐标是3，则p= ．13.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=32，则线段CD的长为 ．14.已知函数y=x2−1x−1的图象与函数y=kx−2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=sin2x+π3+sin2x−π3+2cos2x−1，x∈R．第12页（共12页）（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx在区间−π4,π4上的最大值和最小值．16.有4个人去参加某
5、娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=∣X−Y∣，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BAC=45∘，PA=AD=2，AC=1．（1）证明PC丄AD
6、；（2）求二面角A−PC−D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30∘，求AE的长．18.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4−b4=10．（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tn=anb1+an−1b2+⋯+a1bn，n∈N+，证明Tn+12=−2an+10bnn∈N+．19.设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为−12，求椭圆的离心率；（2）若∣A
7、P∣=∣OA∣，证明直线OP的斜率k满足∣k∣>3．20.已知函数fx=x−lnx+a的最小值为0，其中a>0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈0,+∞，有fx≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：22i−1i=1n−ln2n+1<2n∈N*．第12页（共12页）答案第一部分1.B2.A【解析】由φ=0，得fx=cosx，为偶函数；而由fx=cosx+φ为偶函数，得φ=kπ,k∈Z．3.C【解析】C4.B【解析】因为f0f1<0，且fx在0,1上单调递增，所以fx在0,1内的零点个数是1．5.D【解析】Tr+1=C5r2x25−r−1xr
8、=C5r−1r25−rx10−3r.由10−3r=1，得r=3，所以x的系数为−40．6.A【解析】∵8b=5c，由正弦定
