2005年北京市朝阳区高三一模试卷

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1、2005年北京市朝阳区高三一模试卷一、选择题（共1小题；共5分）1.在下列各区间中，函数y=sinx+π4的单调递增区间是______A.π2,πB.0,π4C.−π,0D.π4,π2二、解答题（共1小题；共13分）2.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=22BC．（1）证明：B1C1∥平面A1BC；（2）证明：A1C⊥平面EDB；（3）求平面A1AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）．三、选择题（共7小题；共35分）3.不等式∣3x−2∣>4的解集是___

2、___A.x∣x>2B.x<−23C.x∣x<−23或x>2D.x∣−230,b>0的一个顶点到它的一条渐近线的距离是______A.acB.bcC.aeD.be7.定义运算：abcd=

3、ad−bc，则符合条件1−1zzi=4+2i的复数z为______A.3−iB.1+3iC.3+iD.1−3i8.已知函数fx=x5−5x4+10x3−10x2+5x−1，则fx的反函数为______A.f−1x=5x−1x∈RB.f−1x=x−15−1x∈RC.f−1x=5x+1x∈RD.f−1x=x−25+1x∈R9.有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为______A.2+6aB.2+62aC.1+3aD.1+32a四、填空题（共6小题；共30分）10

4、.函数y=sinx+cosx的最小正周期是______，其图象的相邻两条对称轴之间的距离是______．11.将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为______，球的表面积为______（不计损耗）．12.圆C：x=1+cosθ,y=sinθ.（θ为参数）的普通方程为______，设O为坐标原点，点Mx0,y0在C上运动，点Px,y是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为______．13.设Px,y是图中四边形内的点或四边形边界上的点即x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最大值是______．14.某人进行射击，每次中靶的

5、概率均为0.8．现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有3发子弹，则射击次数ξ的数学期望为______（用数字作答）．15.已知函数fx是R上的减函数，A0,−3，B−2,3是其图象上的两点，那么不等式∣fx−2∣≥3的解集是______．五、解答题（共5小题；共65分）16.已知函数fx=−x3+3x．（1）证明：函数fx是奇函数；（2）求fx的单调区间．17.已知a=cosα,sinα，b=cosβ,sinβ，0<α<β<π．（1）求∣a∣的值；（2）求证：a+b与a−b互相垂直；（3）设∣ka+b∣=∣a−kb∣，k∈R且k

6、≠0，求β−α的值．18.某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军．已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为23，乙队获胜的概率均为13．求：（1）甲队以3:0获胜的概率；（2）甲队获得总冠军的概率．19.自点A0,−1向抛物线C:y=x2作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E、F，直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点．（1）求切线AB的方程及切点B的坐标；（2）证明PQ=λABλ∈R20.把正奇数数列2n−1中的数按上小下大、左小右

7、大的原则排成如下三角形数表：1 3 5 7 9 11 ⋯⋯设aiji,j∈N*是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．（1）若amn=2005，求m,n的值；（2）已知函数fx的反函数为f−1x=8nx3x>0，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列fbn的前n项和Sn．答案第一部分1.B第二部分2.（1）证：∵三棱柱ABC−A1B1C1中B1C1∥BC，又BC⊂平面A1BC，且B1C1⊄平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC．    （2）证：∵三棱柱ABC−A1B1C1中A1A⊥AB，∴RtΔA1AB中AB

8、=22A1B．∴BC=A1B,∴ΔA1BC是等腰三角形，∵E是等腰ΔA1BC底边A1C的中点，∴A1C⊥BE   ①又依条件知A1C⊥E