2005年北京市朝阳区二模

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1、2005年北京市朝阳区二模一、解答题（共2小题；共26分）1.已知：fx=2cos2x+3sin2x+a,a∈R，a为常数．（1）若x∈R，求fx的最小正周期及单调递增区间；（2）若fx在−π6,π6上最大值与最小值之和为3，求a的值．2.如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点．（1）求证：OM⊥MF；（2）若MF=1，且双曲线C的离心率e=62，求双曲线C的方程；（3）在（2）的条件下，直线l3过点A0,1与双曲线C右支交于不同的两点P、Q，且P

2、在A、Q之间，满足AP=λAQ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明．二、选择题（共8小题；共40分）3.函数fx=2x−1x∈R的反函数是______A.f−1x=2x+1x∈RB.f−1x=log2x+1x>−1C.f−1x=log2x−1x>−1D.f−1x=log2x+1x>14.已知直线a,b，平面α,β,γ，则下列条件中能推出α∥β的是______A.a∥α,b∥β,a∥bB.a⊥γ,b⊥γ,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b⊥β,a∥bD.a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α5.函数y=x∣x∣的图象大致是______A.B.C.D.

3、6.已知p：α为第二象限角，q:sinα>cosα，则p是q成立的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量a=2,3,b=−1,2，若ma+b与a−2b平行，则实数m等于______A.12B.−12C.2D.−28.七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其它产品，则不同的排列方法共有______A.120种B.240种C.480种D.960种9.设F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=120∘，则椭圆的离心率e的取值范围是______A

4、.32,1B.32,1C.0,32D.0,3210.给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,⋯，则这个数列的一个通项公式是______A.an=2n2+3n−1B.an=n2+5n−5C.an=2n3−3n2+3n−1D.an=2n3−n2+n−2三、填空题（共6小题；共30分）11.limx→−1x2+3x+2x+1=______．12.已知1−2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a0=______，a1+a2+⋯+a7=______．13.抛物线y2=8x的焦点F的坐标为__

5、____；若P为抛物线y2=8x上一点，点M的坐标是4,2，则∣MP∣+∣FP∣的最小值为______．14.一个体积为v的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为图______（填入正确图象的序号）15.定义符号函数sgnx=1x>00x=0−1x<0，则不等式2x+2>x−1sgnx的解集为______．16.抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分．若一共抛掷硬币5次，且每次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分ξ的期望Eξ=______．四、解答

6、题（共3小题；共39分）17.已知函数fx=0,x≤0,nx−n−1+fn−1,n−1Sn−Sn−1对一切n>N恒成立?若存在，则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由．（4）请构造一个与an有关的数列bn

7、，使得limn→∞b1+b2+⋯+bn存在，并求出这个极限值．18.某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：取出的棋子奖品5枚白棋子价值50元的商品4枚白棋子价值30元的商品3枚白棋子价值10元的商品如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品．（1）求获得价值50元的商品的概率；（2）求获得奖品的概率；（3）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，则商家可以获

8、得的利润大约是多少?（精确到元）19.已知函数fx=ax2+2ln1−x（a为实数）．（1）若fx在x=−1处有极值，求a的值；（2）若fx在−3,−2上是增函数，求a的取值范围．答案第一部分1.（1）因为