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1、课时提升作业二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题(每小题5分,共25分)1.若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于 ( )A.2 B.4 C. D.【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=2,解得a=2,故选A.2.(2016·海南高二检测)已知函数f(x)=,则f′(-2)= ( )A.4B.C.-4D
2、.-【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算.【解析】选D.因为f(x)=,所以f′(x)=-,所以f′(-2)=-=-.3.(2016·临沂高二检测)若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为 ( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选B.因为f(x)=f′(-1)x2-2x+3,所以f′(x)=f′(-1)x-2.所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,所以f′(-1)=-1.4.质点做直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s) ( )A.B.C.D.【解析】选A.因为s==,所以s′=,当t=3时,s′=·=.5.(20
3、16·保定高二检测)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y′=,设切点为(x0,lnx0)(x0>0),则k=y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故k=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·临沂高二检测)曲线y=x2在x=处的切线的倾斜角α为 .【解析】由y=x2,得y′=2x,y′=1,因此斜率k=1,所以α=45°.答案:45°7.(2016·青岛高二检测)曲线y=在点(1,1)处的切线方程是 .【解析】由y=,得y′=,所以斜率k=y
4、′=,所以切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.答案:x-2y+1=0【补偿训练】(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .【解析】因为y′=-5ex,所以在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.答案:5x+y+2=08.(2016·石家庄高二检测)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 .【解析】y′==≥-1,即tanα≥-1且tanα<0,所以≤α<π.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·洛阳高二检测)若函数f(x)=在
5、x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.【解析】由于f(x)=,所以f(c)=,又f′(x)==,所以f′(c)=.由题意知f(c)+f′(c)=0,所以+=0,所以2c-1=0,得c=.10.(2016·郑州高二检测)试求过点P(2,-1)且与曲线y=x2相切的直线的方程.【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.【解析】由题意知点P(2,-1)不是曲线y=x2上的点,即点P不是切点,设切点为M(x0,y0),则y0=,①因为y′=2x,所以y′==2x0.又kPM=,所以2x0=.②由①②解得x0
6、=2+或x0=2-.当x0=2+时,切线斜率k=2x0=4+2.此时切线方程为y+1=(4+2)(x-2),即(4+2)x-y-9-4=0.当x0=2-时,切线斜率k=2x0=4-2,此时切线方程为y+1=(4-2)(x-2),即(4-2)x-y-9+4=0.所以切线方程为(4+2)x-y-9-4=0或(4-2)x-y-9+4=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·石家庄高二检测)若曲线y=f(x)=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于 ( )A.64B.32C.16D.8【解析】选A.由题得f′(a)=-,切线方程为y-=-(x-a),令y=0
7、,得x=3a,令x=0,得y=.所以切线与两坐标轴交点分别为A(3a,0),B,又因为a>0,所以S△OAB=×3a×==18.所以a=64.2.(2016·烟台高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)= ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选A.因为f0(x)
