苏教版必修5 11.2.2余弦定理(1) 教案.doc

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1、11.2余弦定理（1）一、课题：余弦定理（1）二、教学目标：1．要求学生掌握余弦定理及其证明；2．使学生能初步运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决斜三角形的计算问题。三、教学重点：余弦定理的证明及其运用。四、教学难点：能灵活运用正弦定理和余弦定理解斜三角形。五、教学过程：（一）复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题，提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？2．在中(若)有：，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？（二）新课讲解：1．余弦定理的推导：[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边

2、？[推导]如图，在中，、、的长分别为、、．∵∴，即；同理可证：，．即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2．强调几个问题：①熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；②知三求一；③当夹角为时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；④变形：，，．即：第3页共3页3．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。4．例题分析：例１　在△ＡＢＣ中，（１）已知ｂ＝３，ｃ＝１，Ａ＝６０°，求ａ；（２）已知ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６，求Ａ

3、（精确到０．１°）．解　（１）由余弦定理，得　　＝３２＋１２－２×３×１×ｃｏｓ６０°＝7，所以ａ＝．（２）由余弦定理，得＝＝０．７５，所以Ａ≈４１．４°．例２　Ａ，Ｂ两地之间隔着一个水塘（图１１２２），现选择另一点Ｃ，测得ＣＡ＝１８２ｍ，ＣＢ＝１２６ｍ，∠ＡＣＢ＝６３°，求Ａ，Ｂ两地之间的距离（精确到１ｍ）．解　由余弦定理，得ＡＢ２＝ＣＡ２＋ＣＢ２－２ＣＡ·ＣＢ·ｃｏｓＣ　　＝１８２２＋１２６２－２×１８２×１２６ｃｏｓ６３°≈２８１７８．１８，所以ＡＢ≈１６８（ｍ）．答　Ａ，Ｂ两地之间的距离约为１６８ｍ．例３　用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，当∠Ｃ为锐角时，ａ２＋ｂ２＞ｃ２

4、；当∠Ｃ为钝角时，ａ２＋ｂ２＜ｃ２．证　当∠Ｃ为锐角时，ｃｏｓＣ＞０，由余弦定理，得　　ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ＜ａ２＋ｂ２，即ａ２＋ｂ２＞ｃ２．同理可证，当∠Ｃ为钝角时，ａ２＋ｂ２＜ｃ２．总结：利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；第3页共3页（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例4在中，已知，，，求、和（精确到）．解：∵，∴，又∵，∴，∴．例5在△ABC中，已知，，，解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）．解：由：得，又∵，∴，∴．六、课堂练习：P14练习1、2、3、4、5．七、课堂小结：1．正弦定理和余

5、弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状；注意熟悉并应用余弦定理的向量形式。八、作业：数学评价手册第3页共3页